(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\operatorname{cotg}^{2}(x)\right)^{-1} \frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite, usando a Regra de L’Hospital, do seguinte valor quando x \to 0:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\operatorname{cotg}^{2}(x)\right)^{-1}\frac{3}{2}.
Informações e o que vamos usar imediatamente:
  • A expressão a ser estudada é \displaystyle \frac{3}{2}\cdot\left(\frac{1}{x^{2}}-\operatorname{cotg}^{2}(x)\right)^{-1}.
  • É útil reescrever a parte interna sem a potência -1 para identificar uma forma 0/0 ou \infty/\infty.
  • Observação que usarei \operatorname{cotg}(x)=\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} sempre que precisar.

Passo 2

Reescrevendo a expressão de forma mais manejável:
\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot^{2}x\right)^{-1} =\frac{1}{\dfrac{1}{x^{2}}-\cot^{2}x} =\frac{x^{2}}{1-x^{2}\cot^{2}x}.
Portanto o limite pedido é
\lim_{x\to 0}\frac{3}{2}\cdot\frac{x^{2}}{1-x^{2}\cot^{2}x}.
Para aplicar a Regra de L’Hospital precisamos de uma forma 0/0 (ou \infty/\infty). Verificamos os limites individuais quando x\to0:
  • \displaystyle x^{2}\to 0.
  • \displaystyle x^{2}\cot^{2}x=\left(x\cot x\right)^{2}. Como \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, tem-se \displaystyle x\cot x=\frac{x\cos x}{\sin x}\to 1 (pois \sin x\sim x e \cos x\to1), logo x^{2}\cot^{2}x\to 1. Assim 1-x^{2}\cot^{2}x\to 0.
    Logo a fração \dfrac{x^{2}}{1-x^{2}\cot^{2}x} é uma forma 0/0 e podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Para simplificar a diferenciação e evitar derivar \cot diretamente, multiplico numerador e denominador por \sin^{2}x (isto é algebra equivalente, não altera o limite quando \sin x\neq 0; próximo de 0 vale):
\frac{x^{2}}{1-x^{2}\cot^{2}x} =\frac{x^{2}\sin^{2}x}{\sin^{2}x-x^{2}\cos^{2}x}.
Defino
N(x)=x^{2}\sin^{2}x,\qquad D(x)=\sin^{2}x-x^{2}\cos^{2}x,
e aplico L’Hospital à razão N(x)/D(x) porque N(0)=0 e D(0)=0.

Passo 4

Calculo as derivadas usando regra do produto e as derivadas básicas (\sin x)'=\cos x, (\cos x)'=-\sin x.
Derivada do numerador:
N'(x)= (x^{2})' \sin^{2}x + x^{2}(\sin^{2}x)' =2x\sin^{2}x + x^{2}\cdot 2\sin x\cos x =2x\sin^{2}x + 2x^{2}\sin x\cos x.
Derivada do denominador:
D'(x)=(\sin^{2}x)' - (x^{2}\cos^{2}x)' =2\sin x\cos x - \big(2x\cos^{2}x + x^{2}\cdot 2\cos x(-\sin x)\big).
Simplificando a parte do produto:
(x^{2}\cos^{2}x)'=2x\cos^{2}x - 2x^{2}\cos x\sin x,
então
D'(x)=2\sin x\cos x - 2x\cos^{2}x + 2x^{2}\cos x\sin x.
Pela Regra de L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}\sin^{2}x}{\sin^{2}x-x^{2}\cos^{2}x} = \lim_{x\to 0}\frac{N'(x)}{D'(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{2x\sin^{2}x + 2x^{2}\sin x\cos x}{2\sin x\cos x - 2x\cos^{2}x + 2x^{2}\cos x\sin x}.

Passo 5

Agora avalio o limite da razão das derivadas. Posso simplificar um fator 2 comum:
\lim_{x\to 0}\frac{x\sin^{2}x + x^{2}\sin x\cos x}{\sin x\cos x - x\cos^{2}x + x^{2}\cos x\sin x}.
Para determinar o limite, uso as expansões em potências de x (as séries de Taylor até as ordens necessárias):
\sin x = x - \frac{x^{3}}{6}+O(x^{5}),\qquad \cos x = 1-\frac{x^{2}}{2}+O(x^{4}).
Calculo os termos relevantes (mantendo até ordem x^{3} no numerador e denominador, porque isso basta para encontrar o limite):
  • \sin^{2}x = x^{2} - \frac{x^{4}}{3}+O(x^{6}).
  • \sin x\cos x = x - \frac{2}{3}x^{3}+O(x^{5}).
  • \cos^{2}x = 1 - x^{2}+O(x^{4}).
Substituindo em cada termo:
Numerador:
x\sin^{2}x + x^{2}\sin x\cos x = x\big(x^{2}-\tfrac{x^{4}}{3}+O(x^{6})\big) + x^{2}\big(x-\tfrac{2}{3}x^{3}+O(x^{5})\big) = x^{3}-\tfrac{x^{5}}{3} + x^{3}-\tfrac{2}{3}x^{5}+O(x^{7}) = 2x^{3} + O(x^{5}).
Denominador:
\sin x\cos x - x\cos^{2}x + x^{2}\cos x\sin x = \big(x-\tfrac{2}{3}x^{3}+O(x^{5})\big) - x\big(1-x^{2}+O(x^{4})\big) + x^{2}\big(x+O(x^{3})\big).
Compute termo a termo:
\sin x\cos x - x\cos^{2}x = \big(x-\tfrac{2}{3}x^{3}\big) - \big(x - x^{3}\big) + O(x^{5}) = \big(-\tfrac{2}{3}x^{3} + x^{3}\big) + O(x^{5}) = \tfrac{1}{3}x^{3}+O(x^{5}).
Somando o último termo x^{2}\cos x\sin x \approx x^{2}\cdot x = x^{3}, obtemos
\text{denominador} = \tfrac{1}{3}x^{3} + x^{3} + O(x^{5}) = \tfrac{4}{3}x^{3} + O(x^{5}).
Portanto a razão se comporta como
\frac{2x^{3}+O(x^{5})}{\tfrac{4}{3}x^{3}+O(x^{5})}\longrightarrow \frac{2}{4/3}=\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{2}.
Logo
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}\sin^{2}x}{\sin^{2}x-x^{2}\cos^{2}x}=\frac{3}{2}.

Passo 6

Voltando à expressão original, lembramos que
\left(\frac{1}{x^{2}}-\cot^{2}x\right)^{-1}=\frac{x^{2}}{1-x^{2}\cot^{2}x}=\frac{x^{2}\sin^{2}x}{\sin^{2}x-x^{2}\cos^{2}x},
portanto o limite dessa quantidade quando x\to0 é \dfrac{3}{2}. Como o enunciado pede a expressão multiplicada por \dfrac{3}{2}, o limite final é
\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{4}.

Resposta

\dfrac{9}{4}

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