(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite, usando a Regra de L’Hospital, do seguinte valor quando
:
Informações e o que vamos usar imediatamente:
- A expressão a ser estudada é
- É útil reescrever a parte interna sem a potência
para identificar uma forma ou . - Observação que usarei
sempre que precisar.
Passo 2
Reescrevendo a expressão de forma mais manejável:
Portanto o limite pedido é
Para aplicar a Regra de L’Hospital precisamos de uma forma
(ou
). Verificamos os limites individuais quando
:
-
-
. Como , tem-se (pois e ), logo . Assim .
Logo a fraçãoé uma forma e podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
Para simplificar a diferenciação e evitar derivar
diretamente, multiplico numerador e denominador por
(isto é algebra equivalente, não altera o limite quando
; próximo de
vale):
Defino
e aplico L’Hospital à razão
porque
e
.
Passo 4
Calculo as derivadas usando regra do produto e as derivadas básicas
,
.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Simplificando a parte do produto:
então
Pela Regra de L’Hospital:
Passo 5
Agora avalio o limite da razão das derivadas. Posso simplificar um fator
comum:
Para determinar o limite, uso as expansões em potências de
(as séries de Taylor até as ordens necessárias):
Calculo os termos relevantes (mantendo até ordem
no numerador e denominador, porque isso basta para encontrar o limite):
-
. -
. -
.
Substituindo em cada termo:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Compute termo a termo:
Somando o último termo
, obtemos
Portanto a razão se comporta como
Logo
Passo 6
Voltando à expressão original, lembramos que
portanto o limite dessa quantidade quando
é
. Como o enunciado pede a expressão multiplicada por
, o limite final é