(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 5} \frac{2 x-2}{x^{3}+x-2} \quad \frac{1}{2}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 5}\frac{2x-2}{x^{3}+x-2}.
Informações dadas:
A função a examinar é f(x)=\dfrac{2x-2}{x^{3}+x-2}.
O ponto de interesse é x\to 5.
Não há outras restrições fornecidas.
Passo 2
Primeira coisa que sempre checar numa questão pedindo “via Regra de L’Hospital” é o tipo de forma que aparece ao substituir o ponto no numerador e no denominador. Vou substituir x=5 diretamente nas duas expressões:
Breve aula sobre a Regra de L’Hospital (o porquê dela e quando usar).
A Regra de L’Hospital serve para calcular limites de quocientes quando, ao substituir o ponto, o quociente assume uma forma indeterminada do tipo \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}.
Enunciado (forma prática): se \lim_{x\to a} g(x)=0 e \lim_{x\to a} h(x)=0 (ou ambos =\pm\infty), e g,h são diferenciáveis num intervalo (exceto possivelmente em a) e h'(x)\neq 0 próximo de a, então
quando o limite à direita existe (ou é \pm\infty).
Importante: a regra não se aplica se o valor direto não for uma forma indeterminada. Se, ao substituir, obtiver um número finito e o denominador diferente de zero, o limite é simplesmente o valor da função (continuidade no ponto).
Passo 4
Aplicando o critério acima ao nosso problema: ao substituir x=5 encontramos numerador =8 e denominador =128. Isso é a forma \dfrac{8}{128}, que não é indeterminada (nem 0/0 nem \infty/\infty). Logo a Regra de L’Hospital NÃO é necessária nem aplicável aqui. Podemos usar a continuidade da função (razão de polinômios com denominador não nulo) para dizer que o limite é o valor da função em x=5.
Passo 5
Calcular o valor da função em x=5 passo a passo e simplificar a fração:
Agora simplificar \dfrac{8}{128}. Dividindo numerador e denominador por 8:
\frac{8}{128}=\frac{1}{16}.
Passo 6
Comentário final e dica prática para a prova: sempre substitua primeiro o ponto pedido para ver que forma aparece. Só tente L’Hospital se surgir 0/0 ou \infty/\infty. Para formas que não são indeterminadas (como aqui), a resposta é o valor da função no ponto, se a função for definida ali.