(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{2 x-2}{x^{3}+x-2} \quad \frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 5}\frac{2x-2}{x^{3}+x-2}.
Informações dadas:
  • A função a examinar é f(x)=\dfrac{2x-2}{x^{3}+x-2}.
  • O ponto de interesse é x\to 5.
  • Não há outras restrições fornecidas.

Passo 2

Primeira coisa que sempre checar numa questão pedindo “via Regra de L’Hospital” é o tipo de forma que aparece ao substituir o ponto no numerador e no denominador. Vou substituir x=5 diretamente nas duas expressões:
\text{numerador: }2x-2\Big|_{x=5}=2\cdot 5-2=10-2=8,
\text{denominador: }x^{3}+x-2\Big|_{x=5}=5^{3}+5-2=125+5-2=128.
Obtemos 8 no numerador e 128 no denominador.

Passo 3

Breve aula sobre a Regra de L’Hospital (o porquê dela e quando usar).
  • A Regra de L’Hospital serve para calcular limites de quocientes quando, ao substituir o ponto, o quociente assume uma forma indeterminada do tipo \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}.
  • Enunciado (forma prática): se \lim_{x\to a} g(x)=0 e \lim_{x\to a} h(x)=0 (ou ambos =\pm\infty), e g,h são diferenciáveis num intervalo (exceto possivelmente em a) e h'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to a}\frac{g'(x)}{h'(x)}
quando o limite à direita existe (ou é \pm\infty).
  • Importante: a regra não se aplica se o valor direto não for uma forma indeterminada. Se, ao substituir, obtiver um número finito e o denominador diferente de zero, o limite é simplesmente o valor da função (continuidade no ponto).

Passo 4

Aplicando o critério acima ao nosso problema: ao substituir x=5 encontramos numerador =8 e denominador =128. Isso é a forma \dfrac{8}{128}, que não é indeterminada (nem 0/0 nem \infty/\infty). Logo a Regra de L’Hospital NÃO é necessária nem aplicável aqui. Podemos usar a continuidade da função (razão de polinômios com denominador não nulo) para dizer que o limite é o valor da função em x=5.

Passo 5

Calcular o valor da função em x=5 passo a passo e simplificar a fração:
\lim_{x\to 5}\frac{2x-2}{x^{3}+x-2}=\frac{2\cdot 5-2}{5^{3}+5-2}=\frac{8}{128}.
Agora simplificar \dfrac{8}{128}. Dividindo numerador e denominador por 8:
\frac{8}{128}=\frac{1}{16}.

Passo 6

Comentário final e dica prática para a prova: sempre substitua primeiro o ponto pedido para ver que forma aparece. Só tente L’Hospital se surgir 0/0 ou \infty/\infty. Para formas que não são indeterminadas (como aqui), a resposta é o valor da função no ponto, se a função for definida ali.

Resposta

\dfrac{1}{16}

Exercícios relacionados