(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite
- Informações dadas (que podemos checar imediatamente):
-
, logo o numerador tende a quando . -
, logo o denominador tende a quando .
-
- Conclusão desta etapa: a expressão tem forma indeterminada do tipo
. Isso nos autoriza a pensar em usar a Regra de L’Hospital (ou outro método), conforme pedido.
Passo 2
O que é a Regra de L’Hospital e quando podemos usá-la (explicação didática):
- Regra de L’Hospital (forma prática): se duas funções
e satisfazem e (ou ambas tendem a ), e se as derivadas e existem numa vizinhança de (exceto possivelmente em ) e existe (ou é ), então
- Observação prática: às vezes a primeira aplicação ainda dá
; aí podemos aplicar L’Hospital repetidas vezes, isto é, aplicar a regra às derivadas sucessivas até sair da indeterminação. - Aqui,
e . Ambas tendem a em , então podemos aplicar L’Hospital.
Passo 3
Primeira aplicação de L’Hospital: calcular as primeiras derivadas e testar a forma:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
- Avaliando em
: -
. -
.
-
- Resultado: depois da primeira derivação ainda temos
. Então aplicamos L’Hospital novamente às derivadas.
Passo 4
Segunda aplicação de L’Hospital: calcular as segundas derivadas:
- Derivada de
:
- Derivada de
: usar que , então
Portanto
- Avaliando em
: -
. -
.
-
- Resultado: ainda
. Aplicamos L’Hospital uma terceira vez.
Passo 5
Terceira aplicação de L’Hospital: calcular terceiras derivadas e avaliar o limite:
- Terceira derivada do numerador:
Logo
.
- Terceira derivada do denominador: derivar
. Usamos a regra do produto e as derivadas conhecidas: - Seja
e . -
(já calculado) e . - Aplicando produto:
- Multiplicando pelo fator
que estava fora:
- Seja
- Avaliando em
: -
, , portanto
-
- Agora a razão das terceiras derivadas em
é
- Como após aplicar L’Hospital repetidamente chegamos a uma razão de derivadas que existe e é finita, concluímos que
Passo 6
Breve verificação alternativa (intuição rápida, opcional):
- Usando séries de Taylor até a ordem
: -
. -
. - Então
e . - A razão é
.
-
- Isso confirma o resultado obtido por L’Hospital.