(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)-x}{\operatorname{tg}(x)-x} \quad-\frac{1}{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-x}{\tan(x)-x}.
  • Informações dadas (que podemos checar imediatamente):
    • \sin(0)=0, logo o numerador tende a 0-0=0 quando x\to 0.
    • \tan(0)=0, logo o denominador tende a 0-0=0 quando x\to 0.
  • Conclusão desta etapa: a expressão tem forma indeterminada do tipo 0/0. Isso nos autoriza a pensar em usar a Regra de L’Hospital (ou outro método), conforme pedido.

Passo 2

O que é a Regra de L’Hospital e quando podemos usá-la (explicação didática):
  • Regra de L’Hospital (forma prática): se duas funções f(x) e g(x) satisfazem \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambas tendem a \pm\infty), e se as derivadas f'(x) e g'(x) existem numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Observação prática: às vezes a primeira aplicação ainda dá 0/0; aí podemos aplicar L’Hospital repetidas vezes, isto é, aplicar a regra às derivadas sucessivas até sair da indeterminação.
  • Aqui, f(x)=\sin x - x e g(x)=\tan x - x. Ambas tendem a 0 em x\to 0, então podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Primeira aplicação de L’Hospital: calcular as primeiras derivadas e testar a forma:
  • Derivada do numerador:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\sin x - x\big)=\cos x - 1.
  • Derivada do denominador:
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(\tan x - x\big)=\operatorname{sec}^2 x - 1.
  • Avaliando em x=0:
    • f'(0)=\cos 0 -1 = 1-1=0.
    • g'(0)=\operatorname{sec}^2 0 -1 = 1-1=0.
  • Resultado: depois da primeira derivação ainda temos 0/0. Então aplicamos L’Hospital novamente às derivadas.

Passo 4

Segunda aplicação de L’Hospital: calcular as segundas derivadas:
  • Derivada de f'(x)=\cos x -1:
f''(x)=\frac{d}{dx}(\cos x -1)=-\sin x.
  • Derivada de g'(x)=\operatorname{sec}^2 x -1: usar que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x, então
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}^2 x = 2\operatorname{sec} x\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x = 2\operatorname{sec} x\cdot(\operatorname{sec} x\tan x)=2\operatorname{sec}^2 x\tan x.
Portanto
g''(x)=2\operatorname{sec}^2 x\tan x.
  • Avaliando em x=0:
    • f''(0)=-\sin 0=0.
    • g''(0)=2\operatorname{sec}^2 0\tan 0=2\cdot1\cdot0=0.
  • Resultado: ainda \,0/0. Aplicamos L’Hospital uma terceira vez.

Passo 5

Terceira aplicação de L’Hospital: calcular terceiras derivadas e avaliar o limite:
  • Terceira derivada do numerador:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}(-\sin x)=-\cos x.
Logo f^{(3)}(0)=-\cos 0=-1.
  • Terceira derivada do denominador: derivar g''(x)=2\operatorname{sec}^2 x\tan x. Usamos a regra do produto e as derivadas conhecidas:
    • Seja u(x)=\operatorname{sec}^2 x e v(x)=\tan x.
    • u'(x)=2\operatorname{sec}^2 x\tan x (já calculado) e v'(x)=\operatorname{sec}^2 x.
    • Aplicando produto:
    \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}^2 x\tan x\big)=u'v+uv' = (2\operatorname{sec}^2 x\tan x)\cdot\tan x + \operatorname{sec}^2 x\cdot\operatorname{sec}^2 x.
    • Multiplicando pelo fator 2 que estava fora:
    g^{(3)}(x)=2\big(2\operatorname{sec}^2 x\tan^2 x + \operatorname{sec}^4 x\big)=4\operatorname{sec}^2 x\tan^2 x + 2\operatorname{sec}^4 x.
  • Avaliando em x=0:
    • \tan 0=0, \operatorname{sec} 0=1, portanto
    g^{(3)}(0)=4\cdot1\cdot0 + 2\cdot1 = 2.
  • Agora a razão das terceiras derivadas em 0 é
\frac{f^{(3)}(0)}{g^{(3)}(0)}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.
  • Como após aplicar L’Hospital repetidamente chegamos a uma razão de derivadas que existe e é finita, concluímos que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{\tan x - x} = -\frac{1}{2}.

Passo 6

Breve verificação alternativa (intuição rápida, opcional):
  • Usando séries de Taylor até a ordem x^3:
    • \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + O(x^5).
    • \tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + O(x^5).
    • Então \sin x - x = -\dfrac{x^3}{6}+O(x^5) e \tan x - x = \dfrac{x^3}{3}+O(x^5).
    • A razão é \dfrac{-\tfrac{x^3}{6}+O(x^5)}{\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)} \to \dfrac{-1/6}{1/3}=-\tfrac{1}{2}.
  • Isso confirma o resultado obtido por L’Hospital.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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