Regra do menor custo A função de produção de uma empresa é dada por
f(x, y)=100 x^0,25 y^0,75
em que x é o número de unidades de mão de obra e y, o número de unidades de capital. Suponha que a mão de obra custe por unidade e o capital, por unidade e o capital, por unidade e que a gerência estabeleça uma meta de produção de 20000 unidades.
(b) Mostre que as condições do item (a) são atendidas quando
36ãçãç
Essa proporção é chamada de regra do menor custo (ou regra equimarginal).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao minimizar o custo de produzir 20000 unidades com f(x,y)=100 x^{0,25} y^{0,75}, preço da mão de obra w=48 e do capital r=36, as condições de primeira ordem levam à regra do menor custo.

Passo 2

Formulamos a Lagrangiana para o problema de minimizar custo sujeito à restrição de produção:
L(x,y,lambda)=48x+36y+lambdal(20000-100,x^0.25y^0.75r)

Passo 3

Derivamos em relação a x e y e igualamos a zero (condições de primeira ordem):
partialLpartial x=48-lambdacdot100cdot0.25,x^-0.75y^0.75=0
partialLpartial y=36-lambdacdot100cdot0.75,x^0.25y^-0.25=0

Passo 4

Cada uma dá um preço igual a lambda vezes a produtividade marginal:
48=lambda,fx
36=lambda,fy
Dividindo essas duas igualdades aparece
$$
\frac{48}{36}=\frac{f_x}{f_y},
$$

Passo 5

Isso mostra exatamente que a condição de custo mínimo exige
fxfy=wr,,
onde fx e fy são os produtos marginais de mão de obra e capital. Essa é a regra do menor custo (ou regra equimarginal).

Resposta

Produtividade marginal da mão de obraProdutividade marginal do capital;=;wr;=;4836ã.

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