Regra do menor custo A função de produção de uma empresa é dada por
em que
é o número de unidades de mão de obra e
, o número de unidades de capital. Suponha que a mão de obra custe
por unidade e o capital,
por unidade e que a gerência estabeleça uma meta de produção de 20000 unidades.
(b) Mostre que as condições do item (a) são atendidas quando
Essa proporção é chamada de regra do menor custo (ou regra equimarginal).
em que
(b) Mostre que as condições do item (a) são atendidas quando
Essa proporção é chamada de regra do menor custo (ou regra equimarginal).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao minimizar o custo de produzir 20000 unidades com f(x,y)=100 x^{0,25} y^{0,75}, preço da mão de obra w=48 e do capital r=36, as condições de primeira ordem levam à regra do menor custo.
Passo 2
Formulamos a Lagrangiana para o problema de minimizar custo sujeito à restrição de produção:
Passo 3
Derivamos em relação a x e y e igualamos a zero (condições de primeira ordem):
Passo 4
Cada uma dá um preço igual a
vezes a produtividade marginal:
Dividindo essas duas igualdades aparece
$$
\frac{48}{36}=\frac{f_x}{f_y},
$$
Passo 5
Isso mostra exatamente que a condição de custo mínimo exige
onde
e
são os produtos marginais de mão de obra e capital. Essa é a regra do menor custo (ou regra equimarginal).