A regra do produto nos diz que sejam f(x) e g(x) funções deriváveis em Xo, então, o produto delas r(x) = f(x) · g(x) também é derivável em xoe a derivada satisfaz a fórmula T’(x) = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x). Sejam as funções f(x) = x² - 4x + 1 e g(x) = -x + 2x, assinale a alternativa que contenha a derivada de r(x):

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Regra do Produto na derivação. A gente tem duas funções, $ f(x) = x² - 4x + 1 $ e $ g(x) = -x + 2x $, e queremos encontrar a derivada da função $ r(x) = f(x) \cdot g(x) $. Para isso, vamos usar a fórmula da Regra do Produto, que basicamente diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ g(x) $. Dê uma olhada:
g(x)
Então, na verdade, $ g(x) $ é bem mais simples do que parece. Agora, temos:
g(x) = -x + 2x = x ²

Passo 3

Agora, vamos achar as derivadas de $ f(x) $ e $ g(x) $. Para isso, a gente usa as regras básicas de derivação.
Primeiro, a derivada de $ f(x) $:
f(x) ²
g(x)
Agora, a derivada de $ g(x) $:
f(x)

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Regra do Produto. Lembra ela? É assim:
r'(x) = f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x)
Vamos substituir os valores que encontramos:
r'(x) = (2x - 4) cdot x + (x² - 4x + 1) cdot 1 ²

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
r'(x) = (2x cdot x) - (4 cdot x) + x² - 4x + 1 ²
r'(x) = 2x² - 4x + x² - 4x + 1 ²²
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
r'(x) = (2x² + x²) + (-4x - 4x) + 1 ²²
r'(x) = 3x² - 8x + 1 ²

Resposta

A derivada de $ r(x) $ é:
r(x) ²

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