As regras algébricas para gradientes. Dada uma constante
e os gradientes
e
use as equações escalares
e assim por diante, para estabelecer as seguintes regras.
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando as regras de derivadas parciais em cada coordenada, que o operador gradiente satisfaz propriedades de linearidade (multiplicação por escalar, soma e diferença) e também as regras do produto e do quociente.
Passo 2
Vamos provar que
. Para isso, analisamos cada componente:
Como o gradiente é o vetor dessas derivadas, obtemos
Passo 3
Agora mostramos que a soma e a diferença distribuem sobre o gradiente. Usando
e análogas para
e
, concluímos
Passo 4
Para a regra do produto, aplicamos em cada componente:
e similarmente para
e
. Em forma vetorial:
Passo 5
Finalmente, para o quociente, em cada componente temos
e de modo análogo para
e
. Assim: