As regras algébricas para gradientes. Dada uma constante k e os gradientes
nabla f=partial fpartial x i+partial fpartial y j+partial fpartial z k
e
nabla g=partial gpartial x i+partial gpartial y j+partial gpartial z k
use as equações escalares
partialpartial x(k f)=k partial fpartial x, partialpartial x(f pm g)=partial fpartial x pm partial gpartial x partialpartial x(f g)=f partial gpartial x+g partial fpartial x, partialpartial x(fg)=g partial fpartial x-f partial gpartial xg^2
e assim por diante, para estabelecer as seguintes regras.
a. nabla(k f)=k nabla f
b. nabla(f+g)=nabla f+nabla g
c. nabla(f-g)=nabla f-nabla g
d. nabla(f g)=f nabla g+g nabla f
e. nabla(fg)=g nabla f-f nabla gg^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando as regras de derivadas parciais em cada coordenada, que o operador gradiente satisfaz propriedades de linearidade (multiplicação por escalar, soma e diferença) e também as regras do produto e do quociente.

Passo 2

Vamos provar que nabla(kf)=knabla f. Para isso, analisamos cada componente:
partial (kf)partial x=k,partial fpartial x, partial (kf)partial y=k,partial fpartial y, partial (kf)partial z=k,partial fpartial z
Como o gradiente é o vetor dessas derivadas, obtemos
nabla(kf)=k,nabla f

Passo 3

Agora mostramos que a soma e a diferença distribuem sobre o gradiente. Usando
partial (fpm g)partial x=partial fpartial xpmpartial gpartial x,
e análogas para y e z, concluímos
nabla(f+g)=nabla f+nabla g, nabla(f-g)=nabla f-nabla g

Passo 4

Para a regra do produto, aplicamos em cada componente:
partial(fg)partial x=f,partial gpartial x+g,partial fpartial x,
e similarmente para y e z. Em forma vetorial:
nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f

Passo 5

Finalmente, para o quociente, em cada componente temos
partial(f/g)partial x=g,partial fpartial x-f,partial gpartial xg^2,
e de modo análogo para y e z. Assim:
nablal(fgr)=g,nabla f - f,nabla gg^2

Resposta

nabla(k f)=knabla f,nabla(f+g)=nabla f+nabla g,nabla(f-g)=nabla f-nabla g,nabla(fg)=fnabla g+gnabla f,nablal(fgr)=gnabla f - fnabla gg^2

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