Seja g(3)=19. Sabendo que a derivada de g em x=3 é igual a -5, qual das seguintes afirmações é verdadeira?
y=g(x) possui inversa local x=h(y) em uma vizinhança de x=3 e h^prime(7)=-5.

Passo 1

Estamos com a informação de que g(3)=19 e g'(3)=-5. O que queremos saber é se a função y=g(x) tem inversa local x=h(y) perto de x=3 e, em caso afirmativo, qual é h'(cdot).

Passo 2

Pelo Teorema da Função Inversa, se g'(3)neq0, então existe inversa local h em torno de y0=g(3)=19. Logo a afirmação de que há inversa local está correta, mas o ponto de referência para h é y=19, não y=7.

Passo 3

A derivada da inversa em y0=g(3) é dada por h'(y0)=1g'(3) Substituindo g'(3)=-5 e y0=19, temos h'(19)=1-5=-tfrac15

Passo 4

Portanto, a afirmação de que h'(7)=-5 é falsa, pois o ponto correto é y=19 e o valor de h'(19) é -1/5, não -5.

Resposta

A afirmação é falsa. A inversa local existe em torno de y=19 e h'(19)=-1/5.

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