(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
y=\left(x^{2}+x+1\right) \operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec} (x)
(2 x+1) \operatorname{tg}(x)+\left(x^{2}+x+1\right) \operatorname{sec} ^{2}(x)+\operatorname{sec} (x) \operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx}. A função fornecida é:
y=\left(x^{2}+x+1\right)\tan(x)+\operatorname{sec}(x).
O que se pede: calcular \dfrac{dy}{dx} para essa função, usando regras de derivação.

Passo 2

Relembre as regras que vamos usar (cada uma aparece em forma isolada):
\text{Derivada da soma: }(u+v)'=u'+v'.
\text{Regra do produto: }(u\cdot v)'=u'\,v+u\,v'.
\text{Derivadas elementares: }\big(x^{2}+x+1\big)'=2x+1,
\frac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^{2}x,\qquad \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\big)=\operatorname{sec} x\;\tan x.
Explicando rápido e numa linguagem de amigo: a derivada soma soma as derivadas; para um produto, você deriva uma parte e multiplica pela outra, depois soma com a parte oposta derivada; as derivadas de \tan e \operatorname{sec} são fórmulas padrão que é bom decorar.

Passo 3

Separe a função em partes para aplicar as regras. Tome
u(x)=x^{2}+x+1,\qquad v(x)=\tan x.
Então a parte primeira da função é u(x)\,v(x). Calculamos as derivadas de cada peça:
u'(x)=2x+1,\qquad v'(x)=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Aplique a regra do produto à parte u(x)\,v(x):
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtemos
\frac{d}{dx}\big((x^{2}+x+1)\tan x\big)=(2x+1)\tan x+(x^{2}+x+1)\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 5

Agora derivamos a segunda parcela da função, \operatorname{sec} x. Usando a fórmula:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\big)=\operatorname{sec} x\,\tan x.

Passo 6

Somando a derivada da primeira parcela com a derivada da segunda (regra da soma):
\frac{dy}{dx}=(2x+1)\tan x+(x^{2}+x+1)\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\,\tan x.
Esta é a expressão final, já organizada em somatório de três termos.

Resposta

y'=(2x+1)\tan x+(x^{2}+x+1)\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\,\tan x

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