(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
y=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))) \cos (\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))) \cdot \cos (\operatorname{sen}(x)) \cdot \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \,f'(x)=\dfrac{dy}{dx}\, da função
y=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos(\operatorname{sen}(x))\;\cos(x).
Vou listar claramente as informações relevantes (peguei tudo do enunciado):
  • A função y é o produto de quatro fatores, que vou chamar de \begin{aligned} f_1(x) &= \operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))),\\\ f_2(x) &= \cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))),\\\ f_3(x) &= \cos(\operatorname{sen}(x)),\\\ f_4(x) &= \cos(x). \end{aligned}
  • O que se pede: calcular \dfrac{dy}{dx}, ou seja, a derivada do produto y=f_1 f_2 f_3 f_4.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicando bem, como você pediu):
  • Regra do produto (para quatro fatores). Se y=f_1 f_2 f_3 f_4, então a derivada é
    \frac{dy}{dx}=f_1'\,f_2\,f_3\,f_4+f_1\,f_2'\,f_3\,f_4+f_1\,f_2\,f_3'\,f_4+f_1\,f_2\,f_3\,f_4'.
    Explicação: cada termo corresponde a derivar um dos fatores mantendo os outros três como estavam, e somar todos os termos.
  • Regra da cadeia. Se uma função é composta, por exemplo g(x)=h(u(x)), então
    g'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
    Explicação: primeiro deriva-se a função externa h em relação à sua variável interna u, e multiplica-se pelo derivado da função interna u(x). Para composições mais profundas (por exemplo h(k(u(x)))) aplica-se a cadeia repetidas vezes.
Vou aplicar essas duas regras sistematicamente: primeiro calculo as derivadas de f_1,f_2,f_3,f_4 usando a cadeia; depois uso a regra do produto para montar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Derivar cada fator com atenção (cada passo aplica a regra da cadeia; explico o que é derivado e por quê).
  1. Derivada de f_1(x)=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))).
  • Tome a composição por camadas: camada externa S_1(u)=\operatorname{sen}(u), camada média S_2(v)=\operatorname{sen}(v) e camada interna S_3(w)=\operatorname{sen}(w) com w=x.
  • Aplicando a cadeia duas vezes: \begin{aligned} f_1'(x) &= \cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))) \cdot \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))\big)\\\ &= \cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))) \cdot \big(\cos(\operatorname{sen}(x))\cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{sen}(x))\big)\\\ &= \cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))) \cdot \cos(\operatorname{sen}(x)) \cdot \cos(x). \end{aligned}Observação: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
  1. Derivada de f_2(x)=\cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))).
  • Aqui a função externa é \cos e a interna é \operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)). Pela cadeia: \begin{aligned} f_2'(x) &= -\sin(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))) \cdot \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))\big)\\\ &= -\sin(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))) \cdot \big(\cos(\operatorname{sen}(x))\cdot \cos(x)\big)\\\ &= -\sin(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x))) \cdot \cos(\operatorname{sen}(x)) \cdot \cos(x). \end{aligned}
  1. Derivada de f_3(x)=\cos(\operatorname{sen}(x)).
  • Função externa \cos, interna \operatorname{sen}(x): \begin{aligned} f_3'(x) &= -\sin(\operatorname{sen}(x)) \cdot \frac{d}{dx}(\operatorname{sen}(x))\\\ &= -\sin(\operatorname{sen}(x)) \cdot \cos(x). \end{aligned}
  1. Derivada de f_4(x)=\cos(x).
  • Derivada direta: f_4'(x)=-\sin(x).
Resumo das derivadas (úteis para montar a regra do produto):
\begin{aligned} f_1'(x) &= \cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\,\cos(\operatorname{sen}(x))\,\cos(x),\\[4pt] f_2'(x) &= -\sin(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\,\cos(\operatorname{sen}(x))\,\cos(x),\\[4pt] f_3'(x) &= -\sin(\operatorname{sen}(x))\,\cos(x),\\[4pt] f_4'(x) &= -\sin(x). \end{aligned}]

Passo 4

Agora aplico a regra do produto para quatro fatores:
\frac{dy}{dx}=f_1'\,f_2\,f_3\,f_4+f_1\,f_2'\,f_3\,f_4+f_1\,f_2\,f_3'\,f_4+f_1\,f_2\,f_3\,f_4'.
Substituindo as expressões de f_i e f_i' (vou escrever cada termo explicitamente):
Termo 1 (derivando f_1):
\begin{aligned} T_1 &= f_1'(x)\,f_2(x)\,f_3(x)\,f_4(x)\\[4pt] &= \big(\cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)) )\cos(\operatorname{sen}(x))\cos(x)\big)\cdot \cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cdot \cos(\operatorname{sen}(x))\cdot \cos(x)\\[4pt] &= \cos^2(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos^2(\operatorname{sen}(x))\;\cos^2(x). \end{aligned}
Termo 2 (derivando f_2):
\begin{aligned} T_2 &= f_1(x)\,f_2'(x)\,f_3(x)\,f_4(x)\\[4pt] &= \operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cdot\big(-\sin(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cos(\operatorname{sen}(x))\cos(x)\big)\cdot\cos(\operatorname{sen}(x))\cdot\cos(x)\\[4pt] &= -\sin^2(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos^2(\operatorname{sen}(x))\;\cos^2(x). \end{aligned}
Termo 3 (derivando f_3):
\begin{aligned} T_3 &= f_1(x)\,f_2(x)\,f_3'(x)\,f_4(x)\\[4pt] &= \operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cdot\cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cdot\big(-\sin(\operatorname{sen}(x))\cos(x)\big)\cdot\cos(x)\\[4pt] &= -\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\sin(\operatorname{sen}(x))\;\cos^2(x). \end{aligned}
Termo 4 (derivando f_4):
\begin{aligned} T_4 &= f_1(x)\,f_2(x)\,f_3(x)\,f_4'(x)\\[4pt] &= \operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cdot\cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cdot\cos(\operatorname{sen}(x))\cdot\big(-\sin(x)\big)\\[4pt] &= -\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos(\operatorname{sen}(x))\;\sin(x). \end{aligned}
Portanto, somando os quatro termos:
\frac{dy}{dx}=T_1+T_2+T_3+T_4,
com T_1,T_2,T_3,T_4 dados acima.]

Passo 5

Uma maneira organizada de escrever o resultado é observar que cada termo T_i pode ser reescrito como
T_i = \bigg(\frac{f_i'(x)}{f_i(x)}\bigg)\cdot \big(f_1(x)f_2(x)f_3(x)f_4(x)\big).
Isto é verdade porque, por exemplo, f_1'(x)\,f_2\,f_3\,f_4 = \big(\tfrac{f_1'}{f_1}\big)\cdot(f_1f_2f_3f_4). Assim, somando os quatro termos obtemos
\frac{dy}{dx} = y\left(\frac{f_1'}{f_1}+\frac{f_2'}{f_2}+\frac{f_3'}{f_3}+\frac{f_4'}{f_4}\right),
onde y=f_1f_2f_3f_4 é a própria função original. Agora calculo cada razão \dfrac{f_i'}{f_i} (isto é menos trabalho do que expandir tudo outra vez):
\begin{aligned} \frac{f_1'(x)}{f_1(x)} &= \frac{\cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos(\operatorname{sen}(x))\;\cos(x)} {\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))}\\[6pt] &= \cot(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos(\operatorname{sen}(x))\;\cos(x). \end{aligned}
\begin{aligned} \frac{f_2'(x)}{f_2(x)} &= \frac{-\sin(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos(\operatorname{sen}(x))\;\cos(x)} {\cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))}\\[6pt] &= -\tan(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\;\cos(\operatorname{sen}(x))\;\cos(x). \end{aligned}
\begin{aligned} \frac{f_3'(x)}{f_3(x)} &= \frac{-\sin(\operatorname{sen}(x))\;\cos(x)}{\cos(\operatorname{sen}(x))}\\[6pt] &= -\tan(\operatorname{sen}(x))\;\cos(x). \end{aligned}
\begin{aligned} \frac{f_4'(x)}{f_4(x)} &= \frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\\[6pt] &= -\tan(x). \end{aligned}
Resumo:
\frac{f_1'}{f_1}=\cot(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cos(\operatorname{sen}(x))\cos(x),
\frac{f_2'}{f_2}=-\tan(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cos(\operatorname{sen}(x))\cos(x),
\frac{f_3'}{f_3}=-\tan(\operatorname{sen}(x))\cos(x),
\frac{f_4'}{f_4}=-\tan(x).
Agora é só somar essas quatro frações e multiplicar por y (faço isso na seção de resposta final para ficar bem limpo).]

Resposta

\frac{dy}{dx} = \operatorname{sen}(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cos(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\cos(\operatorname{sen}(x))\cos(x)\Big(\cos(\operatorname{sen}(x))\cos(x)\big(\cot(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))-\tan(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(x)))\big)-\cos(x)\tan(\operatorname{sen}(x))-\tan(x)\Big)

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