(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Vou listar claramente as informações relevantes (peguei tudo do enunciado):
- A função
é o produto de quatro fatores, que vou chamar de - O que se pede: calcular
, ou seja, a derivada do produto .
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (explicando bem, como você pediu):
-
Regra do produto (para quatro fatores). Se
, então a derivada é Explicação: cada termo corresponde a derivar um dos fatores mantendo os outros três como estavam, e somar todos os termos. -
Regra da cadeia. Se uma função é composta, por exemplo
, então Explicação: primeiro deriva-se a função externaem relação à sua variável interna , e multiplica-se pelo derivado da função interna . Para composições mais profundas (por exemplo ) aplica-se a cadeia repetidas vezes.
Vou aplicar essas duas regras sistematicamente: primeiro calculo as derivadas de
usando a cadeia; depois uso a regra do produto para montar
.
Passo 3
Derivar cada fator com atenção (cada passo aplica a regra da cadeia; explico o que é derivado e por quê).
- Derivada de
.
- Tome a composição por camadas: camada externa
, camada média e camada interna com . - Aplicando a cadeia duas vezes:
Observação: .
- Derivada de
.
- Aqui a função externa é
e a interna é . Pela cadeia:
- Derivada de
.
- Função externa
, interna :
- Derivada de
.
- Derivada direta:
Resumo das derivadas (úteis para montar a regra do produto):
Passo 4
Agora aplico a regra do produto para quatro fatores:
Substituindo as expressões de
e
(vou escrever cada termo explicitamente):
Termo 1 (derivando
):
Termo 2 (derivando
):
Termo 3 (derivando
):
Termo 4 (derivando
):
Portanto, somando os quatro termos:
com
dados acima.]
Passo 5
Uma maneira organizada de escrever o resultado é observar que cada termo
pode ser reescrito como
Isto é verdade porque, por exemplo,
. Assim, somando os quatro termos obtemos
onde
é a própria função original. Agora calculo cada razão
(isto é menos trabalho do que expandir tudo outra vez):
Resumo:
Agora é só somar essas quatro frações e multiplicar por
(faço isso na seção de resposta final para ficar bem limpo).]