(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
y=x^{5 / 6}+10 \frac{5}{6} x^{-1 / 6}

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
y = x^{5/6} + 10\,\frac{5}{6}\,x^{-1/6}.
O que se pede é calcular f'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
Observação sobre interpretação: interpretei o termo 10\frac{5}{6}x^{-1/6} como o produto 10\cdot\frac{5}{6}\cdot x^{-1/6}. Se a intenção fosse outra (por exemplo 10^{5/6}x^{-1/6}), o resultado muda; aqui vou seguir a interpretação acima.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
  • Regra do expoente (power rule): a derivada de \,x^{n}\, em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
onde n é qualquer número real. Aqui n é o expoente da potência.
Exemplo rápido: se y=x^{3} então y'=3x^{2}.
  • Regra do fator constante (constant multiple): se c é constante e g(x) é função, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x).
Ou seja, pode-se “puxar” constantes para fora da derivada.
Usaremos essas duas regras: primeiro derivamos cada parcela separadamente; se houver um coeficiente constante multiplicando uma potência, mantemos o coeficiente e aplicamos a regra do expoente à potência.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \,x^{5/6}:
Aplicando a regra do expoente com n=\dfrac{5}{6},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5/6}\bigr)=\frac{5}{6}\,x^{5/6-1}=\frac{5}{6}\,x^{-1/6}.
Expliquei: subtrai-se 1 do expoente 5/6, obtendo -1/6.

Passo 4

Derivada do segundo termo 10\cdot\frac{5}{6}\cdot x^{-1/6}:
Aqui o coeficiente c é 10\cdot\frac{5}{6}, que é uma constante. Pela regra do fator constante,
\frac{d}{dx}\left(10\cdot\frac{5}{6}\cdot x^{-1/6}\right) =10\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/6}\bigr).
Agora aplicamos a regra do expoente a x^{-1/6} com n=-\dfrac{1}{6}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/6}\bigr)=-\frac{1}{6}\,x^{-1/6-1}=-\frac{1}{6}\,x^{-7/6}.
Multiplicando pelo coeficiente:
10\cdot\frac{5}{6}\cdot\left(-\frac{1}{6}\,x^{-7/6}\right) = -10\cdot\frac{5}{36}\,x^{-7/6} = -\frac{50}{36}\,x^{-7/6}.
Simplificando a fração \dfrac{50}{36} dividindo numerador e denominador por 2:
-\frac{50}{36}\,x^{-7/6} = -\frac{25}{18}\,x^{-7/6}.

Passo 5

Juntando as duas derivadas (somatória termo a termo):
f'(x)=\frac{5}{6}\,x^{-1/6} - \frac{25}{18}\,x^{-7/6}.

Passo 6

Opcional — simplificar fatorando um fator comum para uma escrita mais compacta (útil em prova):
Fator comum possível: \dfrac{5}{18}\,x^{-7/6}. Vamos ver:
\frac{5}{6}\,x^{-1/6} = \frac{5}{6}\,x^{-7/6}\cdot x = \frac{5}{18}\,x^{-7/6}\cdot 3x,
e já temos o segundo termo como -\dfrac{25}{18}x^{-7/6} = \dfrac{5}{18}x^{-7/6}\cdot(-5).
Portanto
f'(x)=\frac{5}{18}\,x^{-7/6}\,(3x-5).
Ou, escrevendo sem expoentes negativos,
f'(x)=\frac{5(3x-5)}{18\,x^{7/6}}.

Resposta

f'(x)=\frac{5}{6}\,x^{-1/6}-\frac{25}{18}\,x^{-7/6}=\frac{5}{18}\,x^{-7/6}\,(3x-5)=\frac{5(3x-5)}{18\,x^{7/6}}.

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