(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a sua derivada:
O que se pede é calcular
.
Observação sobre interpretação: interpretei o termo
como o produto
. Se a intenção fosse outra (por exemplo
), o resultado muda; aqui vou seguir a interpretação acima.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
- Regra do expoente (power rule): a derivada de
em relação a é
onde
é qualquer número real. Aqui
é o expoente da potência.
Exemplo rápido: se então
.
Exemplo rápido: se
- Regra do fator constante (constant multiple): se
é constante e é função, então
Ou seja, pode-se “puxar” constantes para fora da derivada.
Usaremos essas duas regras: primeiro derivamos cada parcela separadamente; se houver um coeficiente constante multiplicando uma potência, mantemos o coeficiente e aplicamos a regra do expoente à potência.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
:
Aplicando a regra do expoente com
,
Expliquei: subtrai-se
do expoente
, obtendo
.
Passo 4
Derivada do segundo termo
:
Aqui o coeficiente
é
, que é uma constante. Pela regra do fator constante,
Agora aplicamos a regra do expoente a
com
:
Multiplicando pelo coeficiente:
Simplificando a fração
dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Juntando as duas derivadas (somatória termo a termo):
Passo 6
Opcional — simplificar fatorando um fator comum para uma escrita mais compacta (útil em prova):
Fator comum possível:
. Vamos ver:
e já temos o segundo termo como
.
Portanto
Portanto
Ou, escrevendo sem expoentes negativos,