(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada
da função
Informações dadas (tudo que vem no enunciado):
- A função é um produto de quatro fatores:
, , e . - As expressões internas (funções compostas) são
e .
O que se pede: - Encontrar explicitamente
, mostrando os passos e justificando cada regra usada.
Passo 2
Planejamento das regras que vamos usar (sem calcular ainda):
- Regra do produto: a derivada de um produto de várias funções é a soma de termos onde se deriva cada fator uma vez mantendo os outros como estão. Para quatro fatores
,
- Regra da cadeia: se
então . - Derivadas usuais que vamos precisar:
-
(aplicando cadeia). -
. -
.
-
- Identificar as derivadas das funções internas:
- Para
tem-se . - Para
tem-se .
Observação útil:, ou seja, a derivada das internas é exatamente o quarto fator .
- Para
Passo 3
Definimos os fatores para aplicar a regra do produto de forma organizada:
com
e
.
Agora calculemos as derivadas de cada fator usando a regra da cadeia:
(Em todas as fórmulas acima, para evitar poluição visual escrevi
e
em vez de repetir
e
.)
Passo 4
Aplicamos a regra do produto para quatro fatores:
Substituindo
e suas derivadas:
Passo 5
Agora vamos simplificar cada termo passo a passo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
(obs.:
).
- Quarto termo:
Passo 6
Agrupando os três primeiros termos que têm fator comum
, e somando o quarto termo separado:
Podemos também fatorar
em comum:
Passo 7
Por fim, voltando a escrever
e
em termos de
(substituindo
e
), obtemos a forma final explícita da derivada.