(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
f(x)=\operatorname{sec} \left(x^{2}+2 x-1\right) \operatorname{sec} \left(x^{2}+2 x+1\right) \operatorname{tg}\left(x^{2}+2 x-1\right)(2 x+2)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} da função
f(x)=\operatorname{sec}\!\big(x^{2}+2x-1\big)\;\operatorname{sec}\!\big(x^{2}+2x+1\big)\;\tan\!\big(x^{2}+2x-1\big)\,(2x+2).
Informações dadas (tudo que vem no enunciado):
  • A função é um produto de quatro fatores: \operatorname{sec}\big(x^{2}+2x-1\big), \operatorname{sec}\big(x^{2}+2x+1\big), \tan\big(x^{2}+2x-1\big) e (2x+2).
  • As expressões internas (funções compostas) são u(x)=x^{2}+2x-1 e v(x)=x^{2}+2x+1.
    O que se pede:
  • Encontrar explicitamente f'(x), mostrando os passos e justificando cada regra usada.

Passo 2

Planejamento das regras que vamos usar (sem calcular ainda):
  1. Regra do produto: a derivada de um produto de várias funções é a soma de termos onde se deriva cada fator uma vez mantendo os outros como estão. Para quatro fatores A\cdot B\cdot C\cdot D,
\frac{d}{dx}(ABCD)=A'BCD+AB'CD+ABC'D+ABCD'.
  1. Regra da cadeia: se h(x)=g\big(k(x)\big) então h'(x)=g'\big(k(x)\big)\cdot k'(x).
  2. Derivadas usuais que vamos precisar:
    • \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(w)=\operatorname{sec}(w)\tan(w)\cdot w' (aplicando cadeia).
    • \dfrac{d}{dx}\tan(w)=\operatorname{sec}^{2}(w)\cdot w'.
    • \dfrac{d}{dx}(2x+2)=2.
  3. Identificar as derivadas das funções internas:
    • Para u(x)=x^{2}+2x-1 tem-se u'(x)=2x+2.
    • Para v(x)=x^{2}+2x+1 tem-se v'(x)=2x+2.
      Observação útil: u'(x)=v'(x)=2x+2, ou seja, a derivada das internas é exatamente o quarto fator (2x+2).

Passo 3

Definimos os fatores para aplicar a regra do produto de forma organizada:
A(x)=\operatorname{sec}\!\big(u(x)\big),\quad B(x)=\operatorname{sec}\!\big(v(x)\big),\quad C(x)=\tan\!\big(u(x)\big),\quad D(x)=2x+2,
com u(x)=x^{2}+2x-1 e v(x)=x^{2}+2x+1.
Agora calculemos as derivadas de cada fator usando a regra da cadeia:
A'(x)=\operatorname{sec}\!\big(u(x)\big)\tan\!\big(u(x)\big)\,u'(x)=\operatorname{sec}\!\big(u\big)\tan\!\big(u\big)(2x+2),
B'(x)=\operatorname{sec}\!\big(v(x)\big)\tan\!\big(v(x)\big)\,v'(x)=\operatorname{sec}\!\big(v\big)\tan\!\big(v\big)(2x+2),
C'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(u(x)\big)\,u'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\big(u\big)(2x+2),
D'(x)=2.
(Em todas as fórmulas acima, para evitar poluição visual escrevi u e v em vez de repetir u(x) e v(x).)

Passo 4

Aplicamos a regra do produto para quatro fatores:
f'(x)=A'BCD+AB'CD+ABC'D+ABCD'.
Substituindo A,B,C,D e suas derivadas:
\begin{aligned} f'(x)={}&\big[\operatorname{sec}(u)\tan(u)(2x+2)\big]\cdot \operatorname{sec}(v)\cdot \tan(u)\cdot(2x+2)\\\ &+\operatorname{sec}(u)\cdot\big[\operatorname{sec}(v)\tan(v)(2x+2)\big]\cdot\tan(u)\cdot(2x+2)\\\ &+\operatorname{sec}(u)\cdot\operatorname{sec}(v)\cdot\big[\operatorname{sec}^{2}(u)(2x+2)\big]\cdot(2x+2)\\\ &+\operatorname{sec}(u)\cdot\operatorname{sec}(v)\cdot\tan(u)\cdot 2. \end{aligned}

Passo 5

Agora vamos simplificar cada termo passo a passo:
  1. Primeiro termo:
\big[\operatorname{sec}(u)\tan(u)(2x+2)\big]\operatorname{sec}(v)\tan(u)(2x+2) =\operatorname{sec}(u)\operatorname{sec}(v)\tan^{2}(u)(2x+2)^{2}.
  1. Segundo termo:
\operatorname{sec}(u)\big[\operatorname{sec}(v)\tan(v)(2x+2)\big]\tan(u)(2x+2) =\operatorname{sec}(u)\operatorname{sec}(v)\tan(u)\tan(v)(2x+2)^{2}.
  1. Terceiro termo:
\operatorname{sec}(u)\operatorname{sec}(v)\big[\operatorname{sec}^{2}(u)(2x+2)\big](2x+2) =\operatorname{sec}(v)\operatorname{sec}^{3}(u)(2x+2)^{2}.
(obs.: \operatorname{sec}(u)\cdot\operatorname{sec}^{2}(u)=\operatorname{sec}^{3}(u)).
  1. Quarto termo:
\operatorname{sec}(u)\operatorname{sec}(v)\tan(u)\cdot 2=2\operatorname{sec}(u)\operatorname{sec}(v)\tan(u).

Passo 6

Agrupando os três primeiros termos que têm fator comum \operatorname{sec}(u)\operatorname{sec}(v)(2x+2)^{2}, e somando o quarto termo separado:
\begin{aligned} f'(x)={}&\operatorname{sec}(u)\operatorname{sec}(v)(2x+2)^{2}\Big(\tan^{2}(u)+\tan(u)\tan(v)+\operatorname{sec}^{2}(u)\Big)\\\ &\qquad+2\operatorname{sec}(u)\operatorname{sec}(v)\tan(u). \end{aligned}
Podemos também fatorar \operatorname{sec}(u)\operatorname{sec}(v) em comum:
f'(x)=\operatorname{sec}(u)\operatorname{sec}(v)\Big((2x+2)^{2}\big(\tan^{2}(u)+\tan(u)\tan(v)+\operatorname{sec}^{2}(u)\big)+2\tan(u)\Big).

Passo 7

Por fim, voltando a escrever u e v em termos de x (substituindo u(x)=x^{2}+2x-1 e v(x)=x^{2}+2x+1), obtemos a forma final explícita da derivada.

Resposta

\begin{aligned} f'(x)={}&\operatorname{sec}\!\big(x^{2}+2x-1\big)\operatorname{sec}\!\big(x^{2}+2x+1\big)\\\ &\times\Big((2x+2)^{2}\big(\tan^{2}\!\big(x^{2}+2x-1\big)+\tan\!\big(x^{2}+2x-1\big)\tan\!\big(x^{2}+2x+1\big)\\\ &\qquad\qquad\qquad+\operatorname{sec}^{2}\!\big(x^{2}+2x-1\big)\big)+2\tan\!\big(x^{2}+2x-1\big)\Big). \end{aligned}

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