2 Regras de L'Hospital

  1. As funções exponenciais crescem mais rapidamente do que qualquer função polinomial. Siga o roteiro abaixo para provar esta afirmação:
    (a) Considere as funções f(x)=b^x e g(x)=a0+a1 x+a2 x^2+cdots+an x^n, onde b>0 e a0, ldots an são números reais fixados. Vamos mostrar que lim x +infty f(x)g(x)=+infty.
    (b) Verifique que estamos nas condições do teorema de L’Hospital e veja o exercício (1) de “Regras de derivação” da lista 4 para calcular f^prime(x).
    (c) Observe que podemos aplicar L’Hospital novamente para resolver lim x +infty f^prime(x)g^prime(x) e que isso ocorrerá sucessivas vezes até obtermos o limite lim x +infty f^(n)(x)g^(n)(x).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para qualquer polinomial
g(x)=a0+a1x+cdots+anx^n
com anneq0 e qualquer base exponencial b>1, vale
limxto+inftyb^xg(x)=+infty
O conteúdo envolvido é a aplicação repetida da Regra de L’Hospital, usando que tanto b^x como g(x) tendem a +infty e que, a cada derivada, o grau de g cai em 1, enquanto a forma exponencial se conserva multiplicada por constantes.

Passo 2

Primeiro verifiquemos que estamos em uma forma infty/infty. Como b>1, temos
limxto+inftyb^x=+infty
e sendo g de grau n,
limxto+inftyg(x)=+infty
Logo b^xg(x) é do tipo indeterminado infty/infty e podemos aplicar L’Hospital, desde que g'(x)neq0 para x grande, o que ocorre pois g' continua polinomial de grau n-1.

Passo 3

Calcule as derivadas envolvidas.
Inline,
f(x)=b^x, f'(x)=(ln b),b^x
Para o polinomial
g'(x)=a1+2a2x+cdots+ n,anx^n-1,
que ainda satisfaz limxto+inftyg'(x)=+infty. Assim, pela Regra de L’Hospital,
limxto+inftyb^xg(x) =limxto+inftyf'(x)g'(x) =limxto+infty(ln b),b^xa1+2a2x+cdots+n,anx^n-1,
novamente uma forma infty/infty.

Passo 4

Reaplicando L’Hospital sucessivas vezes, a cada aplicação o numerador adquire um fator ln b a mais e o denominador perde 1 grau até sobrar uma constante. Após n derivações:
f^(n)(x)=(ln b)^n,b^x, g^(n)(x)=n!,an(neq0)
Logo
limxto+inftyf^(n)(x)g^(n)(x) =limxto+infty(ln b)^n,b^xn!,an =+infty,
pois b^xto+infty.

Resposta

Pelo uso repetido da Regra de L’Hospital até a n-ésima derivada, concluímos
limxto+inftyb^xa0+a1x+cdots+anx^n=+infty,
ou seja, exponenciais crescem mais rápido que qualquer polinomial.

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