2 Regras de L'Hospital
- As funções exponenciais crescem mais rapidamente do que qualquer função polinomial. Siga o roteiro abaixo para provar esta afirmação:
(a) Considere as funções
e
, onde
e
são números reais fixados. Vamos mostrar que
.
(b) Verifique que estamos nas condições do teorema de L’Hospital e veja o exercício (1) de “Regras de derivação” da lista 4 para calcular
.
(c) Observe que podemos aplicar L’Hospital novamente para resolver
e que isso ocorrerá sucessivas vezes até obtermos o limite
.
(a) Considere as funções
(b) Verifique que estamos nas condições do teorema de L’Hospital e veja o exercício (1) de “Regras de derivação” da lista 4 para calcular
(c) Observe que podemos aplicar L’Hospital novamente para resolver
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para qualquer polinomial
com
e qualquer base exponencial
, vale
O conteúdo envolvido é a aplicação repetida da Regra de L’Hospital, usando que tanto
como
tendem a
e que, a cada derivada, o grau de
cai em
, enquanto a forma exponencial se conserva multiplicada por constantes.
Passo 2
Primeiro verifiquemos que estamos em uma forma
. Como
, temos
e sendo
de grau
,
Logo
é do tipo indeterminado
e podemos aplicar L’Hospital, desde que
para
grande, o que ocorre pois
continua polinomial de grau
.
Passo 3
Calcule as derivadas envolvidas.
Inline,
Inline,
Para o polinomial
que ainda satisfaz
. Assim, pela Regra de L’Hospital,
novamente uma forma
.
Passo 4
Reaplicando L’Hospital sucessivas vezes, a cada aplicação o numerador adquire um fator
a mais e o denominador perde
grau até sobrar uma constante. Após
derivações:
Logo
pois
.
Resposta
Pelo uso repetido da Regra de L’Hospital até a
-ésima derivada, concluímos
ou seja, exponenciais crescem mais rápido que qualquer polinomial.