Seja f uma função contínua em p tal que f^prime(x) existe para todo x em ] a-r, a+r[backslasha. Se lim x p f^prime(x) existe, então f^prime(p) existe e vale:
f^prime(p)=lim x p f^prime(x)
Roteiro para resolver o exercíciq ^1
(a) Denote o intervalo em que f é diferenciável por ] a, a+h[ (ou, analogamente, o intervalo ] a-h, h[ ) em que h>0.
(b) Aplique o TVM ao intervalo do exercício anterior e encontre alphah in] a, a+h[ tal que:
f^prime(alphah)=f(a+h)-f(a)h
(c) Use o fato que alphah in] a, a+h[ para argumentar que alphah a quando h 0.
(d) Aplique o item (b) no limite da definição de derivada:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
e depois utilize o item (c) para concluir o exercício.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f contínua em p e diferenciável em todo ponto de l]p-r,p+rr[setminusp. Além disso, existe
L = limxto p f'(x)
Queremos mostrar que f é de fato diferenciável em p e que
f'(p)=L
O conteúdo central que vamos usar é o Teorema do Valor Médio (TVM) e propriedades de limites.

Passo 2

Escolhemos um incremento h>0 pequeno de modo que o intervalo l[p,p+hr] esteja contido em l]p-r,p+rr[. Como f é diferenciável em cada ponto de l]p,p+hr[, o TVM garante que existe um ponto
alphahinl(p,p+hr) tal que
f'( alphah ) = f(p+h)-f(p)h
Aqui usamos o TVM na forma “diferença de f num intervalo dividido pelo comprimento do intervalo é igual à derivada em algum ponto interno”.

Passo 3

Como alphah está em l(p,p+hr) e hto0^+, fica claro que
alphah ;longrightarrow; p
Isto é, à medida que encolhemos o intervalo tomando h cada vez menor, o ponto alphah se aproxima de p.

Passo 4

Pela definição de derivada em p temos
f'(p) = limhto0f(p+h)-f(p)h
Mas pelo passo 2 cada quociente f(p+h)-f(p)h é igual a f'(alphah). Logo
f'(p) = limhto0 f'(alphah)
E como alphahto p e sabemos que limxto pf'(x)=L, segue
limhto0 f'(alphah) = L

Resposta

f'(p)=limxto pf'(x)

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