Seja
uma função contínua em
tal que
existe para todo
em
. Se
existe, então
existe e vale:
Roteiro para resolver o exercíciq
(a) Denote o intervalo em que
é diferenciável por
(ou, analogamente, o intervalo
) em que
.
(b) Aplique o TVM ao intervalo do exercício anterior e encontre
tal que:
(c) Use o fato que
para argumentar que
quando
.
(d) Aplique o item (b) no limite da definição de derivada:
e depois utilize o item (c) para concluir o exercício.
(a) Denote o intervalo em que
(b) Aplique o TVM ao intervalo do exercício anterior e encontre
(d) Aplique o item (b) no limite da definição de derivada:
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
contínua em
e diferenciável em todo ponto de
. Além disso, existe
Queremos mostrar que
é de fato diferenciável em
e que
O conteúdo central que vamos usar é o Teorema do Valor Médio (TVM) e propriedades de limites.
Passo 2
Escolhemos um incremento
pequeno de modo que o intervalo
esteja contido em
. Como
é diferenciável em cada ponto de
, o TVM garante que existe um ponto
tal que
Aqui usamos o TVM na forma “diferença de
num intervalo dividido pelo comprimento do intervalo é igual à derivada em algum ponto interno”.
Passo 3
Como
está em
e
, fica claro que
Isto é, à medida que encolhemos o intervalo tomando
cada vez menor, o ponto
se aproxima de
.
Passo 4
Pela definição de derivada em
temos
Mas pelo passo 2 cada quociente
é igual a
. Logo
E como
e sabemos que
, segue