Seja k in R uma constante fixada. Mostre que as únicas funções f tais que f^prime(x)=k f(x) são da forma f(x)=C a^x onde C é uma constante real.
Dica: A função ln : ] 0,+infty[ R é bijetora e podemos escrever k=ln a. utilize o exercício 1 para mostrar que a função g(x)=f(x)a^x é constante.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
;f'(x)=k,f(x),
onde kinR é constante, e mostrar que toda solução tem a forma
;f(x)=C,a^x,
com CinR e a>0. Vamos usar a dica de escrever k=ln a e o resultado do Exercício 1 de que, se a derivada de uma função g é zero, então g é constante.

Passo 2

Como a função lncolon(0,infty)toR é bijetora, existe um único a>0 tal que
;k=ln a
Note que isso implica também a=e^k.

Passo 3

Definimos a função
;g(x)=f(x)a^x
Como f é diferenciável e a^x=e^xln a também, podemos derivar g usando a regra do quociente:
g'(x) =f'(x),a^x-f(x),ddx(a^x)l(a^xr)^2 =k,f(x),a^x-f(x),a^xln aa^2x
Mas ln a=k, logo no numerador fica
k,f(x),a^x-f(x),a^x,k=0,
e portanto
;g'(x)=0forall x

Passo 4

Pelo resultado do Exercício 1, como g'(x)=0 para todo x, concluímos que g é constante. Ou seja, existe CinR tal que
;g(x)=Cforall x

Passo 5

Voltando à definição de g, temos
;f(x)a^x=CLongrightarrow f(x)=C,a^x
Isso mostra que toda solução de f'(x)=k,f(x) é da forma f(x)=C,a^x. Em particular, se C=0 obtemos a solução trivial.

Resposta

;f(x)=C,a^x, CinR, a=e^k>0

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