Seja
uma constante fixada. Mostre que as únicas funções
tais que
são da forma
onde
é uma constante real.
Dica: A função ln :
é bijetora e podemos escrever
. utilize o exercício 1 para mostrar que a função
é constante.
Dica: A função ln :
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
é constante, e mostrar que toda solução tem a forma
com
e
. Vamos usar a dica de escrever
e o resultado do Exercício 1 de que, se a derivada de uma função
é zero, então
é constante.
Passo 2
Como a função
é bijetora, existe um único
tal que
Note que isso implica também
.
Passo 3
Definimos a função
Como
é diferenciável e
também, podemos derivar
usando a regra do quociente:
Mas
, logo no numerador fica
e portanto
Passo 4
Pelo resultado do Exercício 1, como
para todo
, concluímos que
é constante. Ou seja, existe
tal que
Passo 5
Voltando à definição de
, temos
Isso mostra que toda solução de
é da forma
. Em particular, se
obtemos a solução trivial.