Uma régua de medição possui um orifício em uma das suas extremidades, pelo qual ela pode ser pendurada e girar sem atrito em torno de um eixo. A régua é mantida em uma posição horizontal e a seguir é liberada. Quando ela oscila, passando pela vertical, obtenha:
A velocidade linear da extremidade livre da régua.
A velocidade linear da extremidade livre da régua.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: temos uma régua (ou barra) de comprimento
presa num pontinho na extremidade, tão leve o pivô que não dá atrito, e ela começa na horizontal e é solta. A gente quer saber qual a velocidade da outra ponta (a extremidade livre) quando a régua passa na vertical.
Conteúdo: matéria de energia e rotação de corpo rígido. Vamos usar conservação de energia e momento de inércia de uma barra em relação a um dos extremos.
Conteúdo: matéria de energia e rotação de corpo rígido. Vamos usar conservação de energia e momento de inércia de uma barra em relação a um dos extremos.
Passo 2
Primeiro, calcula a variação de energia potencial gravitacional. Quando a régua está horizontal, o centro de massa (CM) dela fica a
para baixo do eixo horizontal, mas ainda está mais alto do que quando ela fica na vertical. Na vertical, o CM desceu exatamente
.
Passo 3
Então, a perda de energia potencial é
Essa energia some e vira energia cinética de rotação.
Passo 4
A energia cinética de rotação é
onde
é o momento de inércia da régua em relação ao pivô e
é a velocidade angular no instante vertical.
Passo 5
O momento de inércia de uma régua (barra fina e uniforme) de massa
e comprimento
girando em torno de uma das pontas é
Passo 6
Pela conservação de energia, a queda de potencial vira cinética:
Simplificando
e resolvendo para
:
Passo 7
Por fim, a velocidade linear
da extremidade livre é
:
Resposta
A velocidade da extremidade livre ao passar pela vertical é