Uma partícula move-se de acordo com a seguinte equação de movimento: x(t)=5 cos (3.5 t+pi / 3), onde a posição x(t) é dada em metros e o tempo t, em segundos. a) Qual é a posição inicial da partícula? Calcule os quatro primeiros instantes em que a partícula passa pelas seguintes posições: b) x=0, c) x=5 m, e d) x=-5 m e) Faça um gráfico da função x(t).

Passo 1

O enunciado diz que a partícula faz um movimento harmônico simples descrito por
x(t)=5cosl(3,5,t+tfracpi3r),
com x em metros e t em segundos. Precisamos calcular:
a) a posição inicial x(0);
b) os quatro primeiros instantes em que x=0;
c) os quatro primeiros instantes em que x=5;
d) os quatro primeiros instantes em que x=-5;
e) esboçar o gráfico de x(t).

Passo 2

Para a posição inicial basta fazer t=0:
x(0)=5cosl(tfracpi3r) =5cdottfrac12 =2,5 m

Passo 3

Queremos x=0, ou seja
cosl(3,5,t+tfracpi3r)=0 ;Longrightarrow; 3,5,t+tfracpi3=tfracpi2+kpi, kinZ
Logo
tk=tfracpi2-tfracpi3+kpi3,5 =tfracpi6+kpi3,5
Para k=0,1,2,3 temos os quatro primeiros instantes positivos:
t0=pi/63,5=pi21approx0,1496 s, t1=7pi/63,5=pi3approx1,0472 s,
t2=13pi/63,5=13pi21approx1,9448 s, t3=19pi/63,5=19pi21approx2,8424 s

Passo 4

Queremos x=5, ou seja
cosl(3,5,t+tfracpi3r)=1 ;Longrightarrow; 3,5,t+tfracpi3=2pi n, ninZ
Assim
tn=2pi n-tfracpi33,5
Descartando o n que dá tempo negativo, para n=1,2,3,4 obtemos:
t1=2pi-tfracpi33,5=5pi/33,5approx1,4960 s,
t2=4pi-tfracpi33,5approx3,2914 s, t3approx5,0868 s, t4approx6,8822 s

Passo 5

Queremos x=-5, ou seja
cosl(3,5,t+tfracpi3r)=-1 ;Longrightarrow; 3,5,t+tfracpi3=pi+2pi n,;ninZ
Logo
tn=pi+2pi n-tfracpi33,5 =tfrac2pi3+2pi n3,5
Para n=0,1,2,3 os quatro primeiros instantes positivos são:
t0=2pi/33,5approx0,5984 s, t1approx2,3938 s, t2approx4,1892 s, t3approx5,9846 s

Passo 6

Para esboçar o gráfico de x(t):
  • Amplitude A=5.
  • Frequência angular omega=3,5 rad/s, período
T=2piomega=2pi3,5approx1,795 s
  • Fase inicial phi=tfracpi3 rad.
    Em t=0 temos x=2,5. Em seguida a curva decresce até zero em tapprox0,1496, atinge -5 em tapprox0,5984, volta a zero em tapprox1,0472, chega a +5 em tapprox1,4960 e assim por diante, repetindo a cada T. Marque esses pontos e una suavemente com uma cossenoide.

Resposta

a) x(0)=2,5 m
b) tapprox0,1496, 1,0472, 1,9448, 2,8424 s
c) tapprox1,4960, 3,2914, 5,0868, 6,8822 s
d) tapprox0,5984, 2,3938, 4,1892, 5,9846 s
e) Gráfico de cosseno de amplitude 5, período approx1,795 s, fase pi/3, passando pelos pontos calculados acima.

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