Duas partículas movem-se de acordo com as seguintes equações de movimento: x1(t)=5 cos (3.5 t+pi / 3) e x2(t)=5 cos (3.5 t+2 pi / 3) onde as posições x1(t) e x2(t) são dadas em metros e o tempo t, em segundos. a) Quais são as posições iniciais das partículas? b) Qual é a posição da partícula 2, quando a partícula 1 passa pela posição x1=4 m pela primeira vez? c) Determine o primeiro instante de tempo em que as partículas se encontram, e a posição onde isso ocorre.

Passo 1

O enunciado nos dá duas partículas com movimentos harmônicos simples
x1(t)=5cosl(3,5,t+tfracpi3r), x2(t)=5cosl(3,5,t+tfrac2pi3r)
Pede-se:
a) as posições iniciais x1(0) e x2(0).
b) a posição de x2 quando x1=4,m pela primeira vez.
c) o primeiro instante em que x1(t)=x2(t) e a posição comum.
Para isso vamos usar resoluções de equações do tipo costheta=constante e igualdades cos A=cos B.

Passo 2

Calculamos as posições iniciais em t=0:
x1(0)=5cosl(tfracpi3r)=5cdottfrac12=2,5 m, x2(0)=5cosl(tfrac2pi3r)=5cdotl(-tfrac12r)=-2,5 m

Passo 3

Para achar o primeiro t>0 tal que x1(t)=4,m, escrevemos
cosl(3,5,t+tfracpi3r)=tfrac45=0,8
As soluções gerais são
3,5,t+tfracpi3=arccos(0,8)ou3,5,t+tfracpi3=2pi-arccos(0,8)
A primeira dá t<0, então usamos a segunda:
3,5,t=2pi-arccos(0,8)-tfracpi3 Longrightarrow tapprox1,31 s
Nesse instante,
x2(t)=5cosl(3,5cdot1,31+tfrac2pi3r)approx4,6 m

Passo 4

Para achar o primeiro encontro x1(t)=x2(t), igualamos
cosl(3,5,t+tfracpi3r) =cosl(3,5,t+tfrac2pi3r)
A condição não-trivial é
3,5,t+tfracpi3=-l(3,5,t+tfrac2pi3r)+2pi n,
que leva a
7,t=-pi+2pi n Longrightarrow t=-pi+2pi n7
O menor t>0 ocorre em n=1:
t=pi7approx0,45 s
A posição comum é
x1l(tfracpi7r) =5cos!l(3,5cdottfracpi7+tfracpi3r) =5cosl(tfrac5pi6r) =-5raiz32approx-4,33 m

Resposta

a) x1(0)=2,5 m, x2(0)=-2,5 m
b) x2approx4,6 m quando x1=4,m pela primeira vez
c) Primeiro encontro em t=tfracpi7 sapprox0,45 s, em x=-tfrac5raiz32 mapprox-4,33 m

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