Uma lâmpada de 40 W irradia a partir de um filamento de tungstênio operando a 3300 K. Vamos assumir que a lâmpada irradia como um corpo negro.
(a) Qual é o comprimento de onda \lambda_{m} no máximo da distribuição espectral \mathcal{R}_{\lambda} ?
(b) Assumindo que \lambda_{m} é uma boa aproximação do comprimento de onda médio dos fótons emitidos pela lâmpada, calcule o número de fótons emitidos por segundo.
(c) Se você está olhando para a lâmpada a uma distância de 5 m , quantos fótons entram no seu olho por segundo? (Considere o diâmetro da pupila como 0,5 mm.)

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá informações úteis. Vou listar explicitamente:
  • Perguntas:
    (a) Qual é o comprimento de onda \lambda_{m} do máximo da distribuição espectral \mathcal{R}_{\lambda} ?
    (b) Assumindo que \lambda_{m} é boa aproximação do comprimento de onda médio, quantos fótons são emitidos por segundo pela lâmpada?
    (c) A uma distância de 5\\ \text{m}, quantos desses fótons entram no seu olho por segundo, com pupila de diâmetro 0{,}5\\ \text{mm}?
  • Dados fornecidos:
    • Potência elétrica (irradiada) da lâmpada: \,40\\ \text{W} = 40\\ \text{J s}^{-1}.
    • Temperatura do filamento (assumida corpo negro): \,T = 3300\\ \text{K}.
    • Distância até a lâmpada: \,r = 5\\ \text{m}.
    • Diâmetro da pupila: \,d = 0{,}5\\ \text{mm} = 5{,}0\times 10^{-4}\\ \text{m}.
    • Constantes físicas que usaremos (valores numéricos):
      • Constante de Wien: \,b = 2{,}898\times 10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K}.
      • Constante de Planck: \,h = 6{,}626\times 10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}.
      • Velocidade da luz: \,c = 3{,}00\times 10^{8}\\ \text{m s}^{-1}.
  • Observação: vamos assumir emissão isotrópica (igual em todas as direções), pois o enunciado não dá informação de direcionamento.

Passo 2

Encontrar \lambda_{m} usando a lei de deslocamento de Wien. Eu explico a lei e o porquê:
  • A lei de Wien relaciona a posição do máximo da distribuição espectral em comprimento de onda com a temperatura por:
\lambda_{m}\,T = b,
onde \lambda_{m} é o comprimento de onda no qual a emissão espectral por comprimento de onda é máxima, T é a temperatura em kelvin e b é a constante de Wien.
  • Isolando \lambda_{m}:
\lambda_{m} = \frac{b}{T}.
Agora substituímos os valores (mostro passo a passo):
\lambda_{m} = \frac{2{,}898\times 10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K}}{3300\\ \text{K}}.
Calculemos:
  • Primeiro, 2{,}898/3300 \approx 0{,}000878.
  • Em notação científica:
\lambda_{m} \approx 8{,}78\times 10^{-7}\\ \text{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \text{nm}=10^{-9}\\ \text{m}):
\lambda_{m} \approx 878\\ \text{nm}.
Interpretação rápida: isso está no infravermelho próximo (perto do visível vermelho), o que faz sentido para filamentos quentes.

Passo 3

Encontrar a energia média aproximada de um fóton usando \lambda_{m}. Fórmula e explicação:
  • A energia de um fóton de comprimento de onda \lambda é dada por
E = \frac{hc}{\lambda},
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. Aqui estamos aproximando a energia média por fóton por E \approx hc/\lambda_{m}.
  • Substituímos h, c e \lambda_{m}:
E \approx \frac{(6{,}626\times 10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s})\times(3{,}00\times 10^{8}\\ \text{m s}^{-1})}{8{,}78\times 10^{-7}\\ \text{m}}.
Faço o numerador:
h c = 6{,}626\times 10^{-34}\times 3{,}00\times 10^{8} \approx 1{,}9878\times 10^{-25}\\ \text{J}\cdot\text{m}.
Agora dividir:
E \approx \frac{1{,}9878\times 10^{-25}}{8{,}78\times 10^{-7}} \\ \text{J} \approx 2{,}26\times 10^{-19}\\ \text{J}.
Portanto, cada fóton tem energia aproximada \,E\approx 2{,}26\times 10^{-19}\\ \text{J}.

Passo 4

Calcular o número de fótons emitidos por segundo pela lâmpada.
  • Ideia: potência total é energia por segundo. Se cada fóton tem energia E, o número de fótons por segundo N é
N = \frac{P}{E},
onde P é a potência (em J/s).
  • Substituindo P=40\\ \text{J s}^{-1} e E\approx 2{,}26\times 10^{-19}\\ \text{J}:
N \approx \frac{40}{2{,}26\times 10^{-19}}.
Faço a divisão:
N \approx 1{,}77\times 10^{20}\\ \text{s}^{-1}.
Interpretação: a lâmpada emite cerca de 10^{20} fótons por segundo — um número enorme, não se assuste.

Passo 5

Calcular quantos desses fótons entram no olho por segundo.
  • Modelo: emissão isotrópica em todas as direções. A fração das partículas/fótons que atravessam a pupila é a razão entre a área da pupila e a área da esfera de raio r (superfície sobre a qual a emissão se distribui).
  • Área da pupila (círculo de diâmetro d):
A_{\text{pupila}} = \pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}.
Com d = 5{,}0\times 10^{-4}\\ \text{m}, o raio é 2{,}5\times 10^{-4}\\ \text{m}. Então
A_{\text{pupila}} = \pi (2{,}5\times 10^{-4})^{2} = \pi \times 6{,}25\times 10^{-8}\\ \text{m}^{2} \approx 1{,}9635\times 10^{-7}\\ \text{m}^{2}.
  • Área da esfera de raio r:
A_{\text{esfera}} = 4\pi r^{2} = 4\pi (5)^{2} = 100\pi\\ \text{m}^{2} \approx 314{,}16\\ \text{m}^{2}.
  • Fração que entra na pupila:
f = \frac{A_{\text{pupila}}}{A_{\text{esfera}}} = \frac{\pi \times 6{,}25\times 10^{-8}}{100\pi} = \frac{6{,}25\times 10^{-8}}{100} = 6{,}25\times 10^{-10}.
(Atenção: os \pi cancelam.)
  • Número de fótons entrando no olho por segundo:
N_{\text{olho}} = f \, N \approx (6{,}25\times 10^{-10})\times(1{,}77\times 10^{20}).
Multiplicando:
N_{\text{olho}} \approx 1{,}10\times 10^{11}\\ \text{s}^{-1} = 1{,}10\times 10^{11}\\ \text{fótons/s}.ó
Interpretação: cerca de 10^{11} fótons por segundo entram no olho — ainda um número enorme; nosso olho recebe só uma fração minúscula do total emitido.

Resposta

(a) \lambda_{m} \approx 8{,}78\times 10^{-7}\\ \text{m} \; (878\\ \text{nm})
(b) N \approx 1{,}77\times 10^{20}\\ \text{s}^{-1}
(c) N_{\text{olho}} \approx 1{,}10\times 10^{11}\\ \text{s}^{-1}

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