Uma lâmpada de 40 W irradia a partir de um filamento de tungstênio operando a 3300 K. Vamos assumir que a lâmpada irradia como um corpo negro.
(a) Qual é o comprimento de onda
no máximo da distribuição espectral
?
(b) Assumindo que
é uma boa aproximação do comprimento de onda médio dos fótons emitidos pela lâmpada, calcule o número de fótons emitidos por segundo.
(c) Se você está olhando para a lâmpada a uma distância de 5 m , quantos fótons entram no seu olho por segundo? (Considere o diâmetro da pupila como 0,5 mm.)
(a) Qual é o comprimento de onda
(b) Assumindo que
(c) Se você está olhando para a lâmpada a uma distância de 5 m , quantos fótons entram no seu olho por segundo? (Considere o diâmetro da pupila como 0,5 mm.)
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá informações úteis. Vou listar explicitamente:
- Perguntas:
(a) Qual é o comprimento de ondado máximo da distribuição espectral ?
(b) Assumindo queé boa aproximação do comprimento de onda médio, quantos fótons são emitidos por segundo pela lâmpada?
(c) A uma distância de, quantos desses fótons entram no seu olho por segundo, com pupila de diâmetro ? - Dados fornecidos:
- Potência elétrica (irradiada) da lâmpada:
. - Temperatura do filamento (assumida corpo negro):
. - Distância até a lâmpada:
. - Diâmetro da pupila:
. - Constantes físicas que usaremos (valores numéricos):
- Constante de Wien:
. - Constante de Planck:
. - Velocidade da luz:
.
- Constante de Wien:
- Potência elétrica (irradiada) da lâmpada:
- Observação: vamos assumir emissão isotrópica (igual em todas as direções), pois o enunciado não dá informação de direcionamento.
Passo 2
Encontrar
usando a lei de deslocamento de Wien. Eu explico a lei e o porquê:
- A lei de Wien relaciona a posição do máximo da distribuição espectral em comprimento de onda com a temperatura por:
onde
é o comprimento de onda no qual a emissão espectral por comprimento de onda é máxima,
é a temperatura em kelvin e
é a constante de Wien.
- Isolando
:
Agora substituímos os valores (mostro passo a passo):
Calculemos:
- Primeiro,
. - Em notação científica:
Convertendo para nanômetros (
):
Interpretação rápida: isso está no infravermelho próximo (perto do visível vermelho), o que faz sentido para filamentos quentes.
Passo 3
Encontrar a energia média aproximada de um fóton usando
. Fórmula e explicação:
- A energia de um fóton de comprimento de onda
é dada por
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz. Aqui estamos aproximando a energia média por fóton por
.
- Substituímos
, e :
Faço o numerador:
Agora dividir:
Portanto, cada fóton tem energia aproximada
.
Passo 4
Calcular o número de fótons emitidos por segundo pela lâmpada.
- Ideia: potência total é energia por segundo. Se cada fóton tem energia
, o número de fótons por segundo é
onde
é a potência (em J/s).
- Substituindo
e :
Faço a divisão:
Interpretação: a lâmpada emite cerca de
fótons por segundo — um número enorme, não se assuste.
Passo 5
Calcular quantos desses fótons entram no olho por segundo.
- Modelo: emissão isotrópica em todas as direções. A fração das partículas/fótons que atravessam a pupila é a razão entre a área da pupila e a área da esfera de raio
(superfície sobre a qual a emissão se distribui). - Área da pupila (círculo de diâmetro
):
Com
, o raio é
. Então
- Área da esfera de raio
:
- Fração que entra na pupila:
(Atenção: os
cancelam.)
- Número de fótons entrando no olho por segundo:
Multiplicando:
Interpretação: cerca de
fótons por segundo entram no olho — ainda um número enorme; nosso olho recebe só uma fração minúscula do total emitido.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)