Qual é a relação da aceleração com a inclinação da rampa? A seguir são apresentados o procedimento experimental necessário para investigação.
Procedimento experimental
A experiência começa com o ajuste inicial da Montagem e configuração \left(\theta=1,0^{\circ}\right).
a) Inicie a coleta de dados no software e libere o carrinho do repouso da parte alta da pista e pare a coleta de dados logo após o carrinho atingir a parte baixa da pista e salve a experiência. Determine a aceleração a do carrinho apenas durante o movimento na rampa pelo ajuste de curva e anote na respectiva coluna da equipe da Tabela 1.
b) Aumente o ângulo de inclinação (escolhida arbitrariamente pelo docente no intervalo entre 1,0 \mathrm{e} 15,0^{\circ} ) e repita o procedimento a) para outros valores de \theta. Ao completar a coluna correspondente da equipe, compartilhe com demais equipe** e complete a Tabela 1.
Tabela 1
\theta\left(^{\circ}\right) Equipe 1 Equipe 2 Equipe 3 Equipe 4 Equipe 5
a_{1}\left(m / s^{2}\right) a_{2}\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) a_{3}\left(m / s^{2}\right) a_{4}\left(m / s^{2}\right) a_{5}\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)
3,0 0,320 0,493 0,500 0,409 0,429
6,0 0,867 1,07 1,04 0,942 0,945
9,0 1,45 1,55 1,45 1,43 1,43
12,0 2,01 2,00 2,01 1,88 1,98
15,0 2,46 2,56 2,52 2,43 2,46

  1. **Cada equipe é responsável pelos valores compartilhados, notando divergência no número de algarismos significativos, revise com a equipe que apresentar divergência até chegar a um consenso, revise as medidas gravada no software.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é a relação da aceleração com a inclinação da rampa?” e fornece medidas experimentais de aceleração a para cinco ângulos \theta. Dados úteis extraídos da Tabela 1 (peguei os números da tabela do enunciado):
  • Ângulos: \theta=3^\circ,6^\circ,9^\circ,12^\circ,15^\circ.
  • Medidas das cinco equipes (em \mathrm{m/s^2}):
\theta=3^\circ:\\\ 0,320;\\\ 0,493;\\\ 0,500;\\\ 0,409;\\\ 0,429.
\theta=6^\circ:\\\ 0,867;\\\ 1,07;\\\ 1,04;\\\ 0,942;\\\ 0,945.
\theta=9^\circ:\\\ 1,45;\\\ 1,55;\\\ 1,45;\\\ 1,43;\\\ 1,43.
\theta=12^\circ:\\\ 2,01;\\\ 2,00;\\\ 2,01;\\\ 1,88;\\\ 1,98.
\theta=15^\circ:\\\ 2,46;\\\ 2,56;\\\ 2,52;\\\ 2,43;\\\ 2,46.
O objetivo final: encontrar a relação funcional entre a e \theta — isto é, a lei que liga aceleração e inclinação — e, se possível, estimar parâmetros físicos (como g e coeficiente de atrito).

Passo 2

Aula rápida e física do problema (passo a passo, sem pular etapas).
Quando um carrinho desliza pela rampa com inclinação \theta e existe atrito cinético com coeficiente \mu, as forças principais na direção da rampa são:
  • componente do peso que puxa para baixo: mg\sin\theta,
  • força de atrito que atua para cima: f_k=\mu mg\cos\theta.
Aplicando a segunda lei de Newton na direção da rampa (escolhendo sentido para baixo como positivo):
m a = mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta.
Cancelando m (massas não aparecem no resultado):
\boxed{a = g\sin\theta - \mu g\cos\theta.}
Explicação das variáveis:
  • a é a aceleração ao longo da rampa (magnitude que mediram),
  • g é a aceleração da gravidade (o que queremos estimar),
  • \mu é o coeficiente de atrito cinético (desconhecido),
  • \theta é o ângulo de inclinação (em rad ou graus; nas fórmulas trigonométricas usamos valores numéricos).
Observações didáticas:
  • Se o atrito for desprezível ( \mu\approx0), a relação reduz a a\approx g\sin\theta: aceleração proporcional a \sin\theta.
  • Para estimar g e \mu a partir de dados experimentais é conveniente transformar a relação em uma forma linear.

Passo 3

Linearização conveniente (para ajustar em uma reta sem complicar).
A partir de
a = g\sin\theta - \mu g\cos\theta,
dividindo ambos os lados por \cos\theta (que é não nulo para \theta nos dados),
\frac{a}{\cos\theta} = g\tan\theta - \mu g.
Definindo
x=\tan\theta,\qquad y=\frac{a}{\cos\theta},
obtemos a forma de reta
y = g\,x - \mu g.
Isto é ótimo: fazendo um ajuste linear y versus x os coeficientes da reta dão diretamente g (declive) e -\mu g (ordenada na origem). Depois \mu obtém-se dividindo a ordenada por -g.

Passo 4

Calcular as médias das medidas das equipes para cada ângulo (fazemos isso porque queremos um ponto experimental representativo por ângulo).
Cálculo das somas e médias (tudo em \mathrm{m/s^2}):
\begin{aligned} \text{para }3^\circ:\\ &\sum = 0,320+0,493+0,500+0,409+0,429 = 2,151,\\\ &\overline{a}(3^\circ)=\dfrac{2,151}{5}=0,4302.\\[4pt] \text{para }6^\circ:\\ &\sum = 0,867+1,07+1,04+0,942+0,945 = 4,864,\\\ &\overline{a}(6^\circ)=\dfrac{4,864}{5}=0,9728.\\[4pt] \text{para }9^\circ:\\ &\sum = 1,45+1,55+1,45+1,43+1,43 = 7,31,\\\ &\overline{a}(9^\circ)=\dfrac{7,31}{5}=1,462.\\[4pt] \text{para }12^\circ:\\ &\sum = 2,01+2,00+2,01+1,88+1,98 = 9,88,\\\ &\overline{a}(12^\circ)=\dfrac{9,88}{5}=1,976.\\[4pt] \text{para }15^\circ:\\ &\sum = 2,46+2,56+2,52+2,43+2,46 = 12,43,\\\ &\overline{a}(15^\circ)=\dfrac{12,43}{5}=2,486. \end{aligned}
Portanto temos os pontos médios (\theta,\overline{a}):
(3^\circ,0,4302),\\ (6^\circ,0,9728),\\ (9^\circ,1,462),\\ (12^\circ,1,976),\\ (15^\circ,2,486).]

Passo 5

Calcular \sin\theta,\cos\theta,\tan\theta para cada ângulo (valores numéricos conhecidos/ tabelados; usei aproximações decimais habituais):
\begin{aligned} \theta=3^\circ:\\ &\sin3^\circ\approx0,052336,\\ \cos3^\circ\approx0,99863,\\ \tan3^\circ\approx0,05241.\\\ \theta=6^\circ:\\ &\sin6^\circ\approx0,104528,\\ \cos6^\circ\approx0,99452,\\ \tan6^\circ\approx0,10510.\\\ \theta=9^\circ:\\ &\sin9^\circ\approx0,156434,\\ \cos9^\circ\approx0,98769,\\ \tan9^\circ\approx0,15838.\\\ \theta=12^\circ:\\ &\sin12^\circ\approx0,207912,\\ \cos12^\circ\approx0,97815,\\ \tan12^\circ\approx0,21256.\\\ \theta=15^\circ:\\ &\sin15^\circ\approx0,258819,\\ \cos15^\circ\approx0,96593,\\ \tan15^\circ\approx0,26795. \end{aligned}

Passo 6

Formar os pares (x,y)=(\tan\theta,\; \overline{a}/\cos\theta) que usaremos no ajuste linear.
Calcule y=\overline{a}/\cos\theta para cada ângulo:
\begin{aligned} 3^\circ:\\ &x=0,05241,\quad y=\dfrac{0,4302}{0,99863}\approx0,4308.\\\\ 6^\circ:\\ &x=0,10510,\quad y=\dfrac{0,9728}{0,99452}\approx0,9782.\\\\ 9^\circ:\\ &x=0,15838,\quad y=\dfrac{1,462}{0,98769}\approx1,4805.\\\\ 12^\circ:\\ &x=0,21256,\quad y=\dfrac{1,976}{0,97815}\approx2,0200.\\\\ 15^\circ:\\ &x=0,26795,\quad y=\dfrac{2,486}{0,96593}\approx2,5737. \end{aligned}
Resumindo os pontos (arredondados razoavelmente):
(x_i,y_i)= \begin{cases} (0,05241,\;0,4308)\\\ (0,10510,\;0,9782)\\\ (0,15838,\;1,4805)\\\ (0,21256,\;2,0200)\\\ (0,26795,\;2,5737) \end{cases}

Passo 7

Ajuste linear por mínimos quadrados (fórmulas e cálculo explícito).
Fórmulas clássicas (para reta y=m x + b):
m=\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2},\qquad b=\bar{y}-m\bar{x},
com \bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum x_i e \bar{y}=\dfrac{1}{N}\sum y_i, N=5.
Calculos intermediários (valores numéricos usados):
\begin{aligned} \sum x_i &\approx 0,79640,\quad \bar{x}\approx0,15928,\\\ \sum y_i &\approx 7,4832,\quad \bar{y}\approx1,49664. \end{aligned}
Diferenças e produtos (resumo; calculei termo a termo):
\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\approx0,28703,
\sum (x_i-\bar{x})^2\approx0,0290134.
Portanto o declive:
m\approx\dfrac{0,28703}{0,0290134}\approx9,893\\ \text{(m/s}^2\text{)}.
Como no modelo y=gx-\mu g, o declive m corresponde a g. Logo
\boxed{g\approx9,893\\ \mathrm{m/s^2}.}
A ordenada:
b=\bar{y}-m\bar{x}\approx1,49664-9,893\times0,15928\approx-0,07936.
No modelo b=-\mu g, logo
-\mu g\approx-0,07936\quad\Rightarrow\quad \mu\approx\dfrac{0,07936}{g}\approx\dfrac{0,07936}{9,893}\approx0,00802.

Passo 8

Interpretando os resultados e escrevendo a relação final.
A relação teórica geral é
a = g\sin\theta - \mu g\cos\theta .
Substituindo os valores experimentais estimados:
g\approx9,89\\ \mathrm{m/s^2},\qquad \mu\approx0,0080,
então a lei ajustada fica numericamente (arredondando):
\boxed{a \approx 9,89\sin\theta - 0,079\cos\theta\\ \\ (\mathrm{m/s^2}).}
Observações práticas:
  • A aceleração cresce com o ângulo; para pequenos \theta a dependência principal é a\approx g\sin\theta.
  • O coeficiente de atrito encontrado é muito pequeno ( \mu\approx0,008), o que explica por que a está bem aproximado por g\sin\theta nos dados.
  • O valor estimado de g (aprox. 9,89\\ \mathrm{m/s^2}) está razoavelmente próximo do valor padrão 9,81\\ \mathrm{m/s^2}, indicando consistência experimental.

Resposta

a = g\sin\theta - \mu g\cos\theta
g \approx 9,89\\ \mathrm{m/s^2}
\mu \approx 0,0080

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