Com relação a classificação de sistemas foram apresentadas diversas propriedades gerais dos sistemas. Particularmente, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais das propriedades listadas acima são válidas e quais não são para cada um dos sistemas de tempo discreto a seguir. Justifique suas respostas.
Em cada exemplo,
representa a saída do sistema e
é a entrada do sistema.,
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais das propriedades listadas acima são válidas e quais não são para cada um dos sistemas de tempo discreto a seguir. Justifique suas respostas.
Em cada exemplo,
Passo 1
Beleza, então a gente tem um sistema discreto descrito por
E o que precisamos é dizer se esse sistema é:
- Sem memória
- Invariante no tempo
- Linear
- Causal
- Estável
Para isso, vou usar as definições básicas de cada propriedade e mostrar direitinho o porquê de cada resposta.
Passo 2
Propriedade “sem memória” (memoryless):
– Definição: um sistema é sem memória se a saída em depende só da entrada em
.
– Aqui: depende de
e
, que são valores em instantes diferentes de
.
Logo, tem memória (ou seja, não é sem memória).
– Definição: um sistema é sem memória se a saída em
– Aqui:
Logo, tem memória (ou seja, não é sem memória).
Passo 3
Propriedade “invariante no tempo”:
– Definição: se você atrasar ou adiantar a entrada em , a saída também atrasa/adianta em
sem mudar a forma.
– Teste: dê uma entrada . A saída será
– Definição: se você atrasar ou adiantar a entrada em
– Teste: dê uma entrada
Isso mostra que atrasar
em
atrasa
exatamente em
.
Logo, é invariante no tempo.
Logo, é invariante no tempo.
Passo 4
Propriedade “linear”:
– Definição: se para duas entradas e escalares
vale
– Definição: se para duas entradas
o sistema é linear.
– Nosso sistema faz só soma e multiplicação por constantes:
– Nosso sistema faz só soma e multiplicação por constantes:
Logo, é linear.
Passo 5
Propriedade “causal”:
– Definição: a saída em só pode depender de entradas em índices
(ou seja, não vê “futuro”).
– Aqui, usa
e
, ambos são passados (índices menores que
).
Logo, é causal.
– Definição: a saída em
– Aqui,
Logo, é causal.
Passo 6
Propriedade “estável” (BIBO):
– Definição: se toda entrada limitada (|x[n]|≤B) gera saída também limitada (|y[n]|≤C), então é estável.
– Como
– Definição: se toda entrada limitada (|x[n]|≤B) gera saída também limitada (|y[n]|≤C), então é estável.
– Como
a saída fica limitada.
Logo, é estável.
Logo, é estável.
Resposta
- Sem memória? Não.
- Invariante no tempo? Sim.
- Linear? Sim.
- Causal? Sim.
- Estável? Sim.