Com relação a classificação de sistemas foram apresentadas diversas propriedades gerais dos sistemas. Particularmente, um sistema pode ou não ser:
(1) Sem memória
(2) Invariante no tempo
(3) Linear
(4) Causal
(5) Estável
Determine quais das propriedades listadas acima são válidas e quais não são para cada um dos sistemas de tempo discreto a seguir. Justifique suas respostas.
Em cada exemplo, y(t) representa a saída do sistema e x(t) é a entrada do sistema.,
y[n]=x[n-2]-2 x[n-8]

Passo 1

Beleza, então a gente tem um sistema discreto descrito por
y[n] = x[n-2] - 2,x[n-8]
E o que precisamos é dizer se esse sistema é:
  1. Sem memória
  2. Invariante no tempo
  3. Linear
  4. Causal
  5. Estável
Para isso, vou usar as definições básicas de cada propriedade e mostrar direitinho o porquê de cada resposta.

Passo 2

Propriedade “sem memória” (memoryless):
– Definição: um sistema é sem memória se a saída em n depende da entrada em n.
– Aqui: y[n] depende de x[n-2] e x[n-8], que são valores em instantes diferentes de n.
Logo, tem memória (ou seja, não é sem memória).

Passo 3

Propriedade “invariante no tempo”:
– Definição: se você atrasar ou adiantar a entrada em k, a saída também atrasa/adianta em k sem mudar a forma.
– Teste: dê uma entrada xk[n]=x[n-k]. A saída será
yk[n] ;=; xk[n-2] ;-; 2,xk[n-8] ;=; x[n-2-k] ;-; 2,x[n-8-k] ;=; y[n-k]
Isso mostra que atrasar x em k atrasa y exatamente em k.
Logo, é invariante no tempo.

Passo 4

Propriedade “linear”:
– Definição: se para duas entradas x1,x2 e escalares a,b vale
Ta,x1 + b,x2 = a,Tx1 + b,Tx2,
o sistema é linear.
– Nosso sistema faz só soma e multiplicação por constantes:
Ta,x1 + b,x2[n] = (a,x1[n-2] + b,x2[n-2]) - 2,(a,x1[n-8] + b,x2[n-8]) = a,y1[n] + b,y2[n]
Logo, é linear.

Passo 5

Propriedade “causal”:
– Definição: a saída em n só pode depender de entradas em índices <= n (ou seja, não vê “futuro”).
– Aqui, y[n] usa x[n-2] e x[n-8], ambos são passados (índices menores que n).
Logo, é causal.

Passo 6

Propriedade “estável” (BIBO):
– Definição: se toda entrada limitada (|x[n]|≤B) gera saída também limitada (|y[n]|≤C), então é estável.
– Como
|y[n]| = |x[n-2] - 2,x[n-8]| <= |x[n-2]| + 2,|x[n-8]| <= B + 2B = 3B,
a saída fica limitada.
Logo, é estável.

Resposta

  1. Sem memória? Não.
  2. Invariante no tempo? Sim.
  3. Linear? Sim.
  4. Causal? Sim.
  5. Estável? Sim.

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