(3,0) A relação comprimento-peso de certo R1 peixe do Pacífico é dada por W=10,375 L^3, onde L é o comprimento em metros e W é o peso em quilogramas. A taxa de crescimento do comprimento d Ld t é dada por 0,18(2-L), onde t é o tempo em anos.
(a) Estabeleça uma fórmula para a taxa de crescimento no peso d Wd t em termos de L .
(b) Use a fórmula em (a) para estimar a taxa do crescimento do peso de um peixe que pesa 20 quilogramas.

Passo 1

O enunciado diz que o peso W (em kg) e o comprimento L (em m) estão relacionados por
W = 10,375,L^3
e que a taxa de crescimento do comprimento é
dLdt = 0,18,(2 - L)
O que precisamos é de dWdt em termos de L (parte a) e depois usar esse resultado para um peixe de 20 kg (parte b). Vamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos primeiro dWdL. Como W = 10,375,L^3, tem-se
dWdL = 3 cdot 10,375,L^2 = 31,125,L^2

Passo 3

Usando a regra da cadeia,
dWdt = dWdL,dLdt = 31,125,L^2 ;times; 0,18,(2 - L)
Multiplicando os coeficientes:
31,125 times 0,18 = 5,6025,
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dWdt = 5,6025,L^2,(2 - L)

Passo 4

Para estimar em um peixe de 20 kg, primeiro achamos L resolvendo
10,375,L^3 = 20 Longrightarrow L^3 = 2010,375approx1,9277 Longrightarrow Lapprox1,245 m

Passo 5

Substituindo Lapprox1,245 em
dWdt = 5,6025,L^2(2 - L),
temos
dWdtapprox 5,6025 times (1,245)^2 times (2 - 1,245) approx 6,56 kg/ano

Resposta

(a) dWdt = 5,6025,L^2,(2 - L)
(b) Para W=20 kg ( Lapprox1,245 m) obtém-se dWdtapprox6,56 kg/ano.

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