(ANPEC) Sejam e b=(lb1 b2 b3). Classifique as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso):
a. ( ) det(A)=1.
b. ( ) O sistema A x=b tem única solução.
c. ( ) O sistema A x=b tem solução se, e somente se, b1+b2+b3=0.
d. ( ) Se b=(l0 0 0)=0 então a única solução do sistema linear A x=b é a solução x=0.
e. ( ) Se A x=b, então x=A^-1 b.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 2 & -1 & -3 1 & -1 & 1 -3 & 2 & 2 ,
o vetor incógnita x e o vetor de constantes b, e pede para classificar afirmações sobre det(A), existência e unicidade de soluções de Ax=b, condição de consistência, caso homogêneo e fórmula envolvendo A^-1. O conteúdo usado será cálculo de determinante, conceitos de posto, núcleo (nullspace) e inversibilidade de matrizes.
Passo 2
Vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha:
Como det(A)=0, a matriz A é singular (não inversível). Portanto não há garantia de solução única: a afirmação (b) “o sistema Ax=b tem única solução” é falsa.
Passo 4
Para achar a condição de existência de solução, procuramos o vetor não-nulo u tal que
u^T A = 0^T
Seja u=(u1,u2,u3). As equações
2u1+u2-3u3=0, -u1-u2+2u3=0, -3u1+u2+2u3=0
levam a u1=u2=u3. Assim u=(1,1,1)^T gera a dependência de linhas, e o sistema Ax=b só é consistente se
u^Tb=b1+b2+b3=0
Logo a afirmação (c) é verdadeira.
Passo 5
No caso homogêneo b=0, como A é singular, o núcleo de A tem dimensão maior que zero e existem infinitas soluções, não apenas a trivial. Portanto a afirmação (d) é falsa.
Passo 6
A expressão x=A^-1b só vale quando A é inversível. Como det(A)=0, A^-1 não existe e a afirmação (e) é falsa.