Qual a relação entre a concentração de lacunas no alumínio \left(\mathrm{H}_{\mathrm{f}}=0,76 \mathrm{eV}\right) e no cobre ( \mathrm{H}_{\mathrm{f}}=1,2 \mathrm{eV} ) a 600^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado fornece as entalpias de formação de lacunas em alumínio e em cobre, respectivamente \mathrm{H}_{f,\mathrm{Al}}=0,76\;\mathrm{eV} e \mathrm{H}_{f,\mathrm{Cu}}=1,2\;\mathrm{eV}, e pergunta qual a relação entre as concentrações de lacunas a 600\,^\circ\mathrm{C}. O conteúdo é termodinâmica de defeitos cristalinos, em que a fração de lacunas obedece à lei de Boltzmann.

Passo 2

Sabemos que a concentração de lacunas n_v relativa ao número de sítios N é
\frac{n_v}{N} = \exp\!\Bigl(-\frac{H_f}{k\,T}\Bigr).
Para comparar alumínio e cobre, basta tomar a razão
\frac{n_v(\mathrm{Al})}{n_v(\mathrm{Cu})} = \exp\!\Bigl(-\frac{H_{f,\mathrm{Al}}}{kT}\Bigr)\Big/\exp\!\Bigl(-\frac{H_{f,\mathrm{Cu}}}{kT}\Bigr) = \exp\!\Bigl(\frac{H_{f,\mathrm{Cu}}-H_{f,\mathrm{Al}}}{kT}\Bigr).

Passo 3

Convertemos a temperatura para kelvin:
T = 600 + 273 = 873\;\mathrm{K}.
E usamos a constante de Boltzmann em unidades de eV/K:
k = 8{,}617\times10^{-5}\;\mathrm{eV/K}.
A diferença de entalpia é
\Delta H = H_{f,\mathrm{Cu}} - H_{f,\mathrm{Al}} = 1{,}2 - 0{,}76 = 0{,}44\;\mathrm{eV}.

Passo 4

Calculamos o denominador do expoente:
kT = 8{,}617\times10^{-5}\times873 \approx 0{,}0752\;\mathrm{eV}.
Logo o expoente vale
\frac{\Delta H}{kT} = \frac{0{,}44}{0{,}0752} \approx 5{,}85,
e a razão das concentrações é
\frac{n_v(\mathrm{Al})}{n_v(\mathrm{Cu})} = \exp(5{,}85)\approx 3{,}5\times10^2.

Resposta

\displaystyle \frac{n_v(\mathrm{Al})}{n_v(\mathrm{Cu})}\approx3{,}5\times10^2, ou seja, a concentração de lacunas no alumínio é cerca de 350 vezes maior que no cobre a 600\,^\circ\mathrm{C}.

Exercícios relacionados