Qual das funções abaixo nāo descresce ilimitadamente quando x \rightarrow 2^{+}?
Escolha uma opção:
◯ a. h(x)=\frac{-x^{2}}{x-2}
◯ b. g(x)=\frac{x^{2}+4}{2-x}
◯ c. j(x)=\frac{2 x-6}{4-2 x}
◯ d. \quad i(x)=\frac{x-3}{3 x-6}
◯ e. f(x)=\frac{-4}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede: “Qual das funções abaixo não descresce ilimitadamente quando x\rightarrow2^{+}?”\n
As funções dadas são:
\text{(a) } h(x)=\frac{-x^{2}}{x-2},
\text{(b) } g(x)=\frac{x^{2}+4}{2-x},
\text{\text{(c)} } j(x)=\frac{2x-6}{4-2x},
\text{(d) } i(x)=\frac{x-3}{3x-6},
\text{(e) } f(x)=\frac{-4}{x-2}.
A pergunta exige identificar a única função cuja tendência quando x se aproxima de 2 pela direita ( x\to2^{+}) NÃO é “decrescer ilimitadamente” (ou seja, NÃO tender a -\infty).

Passo 2

O que significa "decrescer ilimitadamente quando x\rightarrow2^{+}"? Significa que
\lim_{x\to2^{+}} \text{função}(x) = -\infty.çã
Para funções racionais como essas, o procedimento prático é: analisar o sinal do numerador e do denominador quando x está pouco maior que 2 (por exemplo x=2{,}1), ou simplificar algebricamente para ver o comportamento perto de x=2. Se o denominador tende a 0^{+} e o numerador tende a um valor positivo, o quociente tende a +\infty; se o numerador tende a um valor negativo, o quociente tende a -\infty. Se houver um sinal menos global, atenção para o efeito na direção do infinito.

Passo 3

Analisando a função (a) h(x)=\dfrac{-x^{2}}{x-2}.\n
Perto de x=2 (pela direita) temos x-2\to0^{+} e -x^{2} próximo de -4 (ou seja, negativo). Então numerador é negativo e denominador é um número positivo muito pequeno. Assim o quociente é um número negativo com módulo muito grande, isto é
\lim_{x\to2^{+}} h(x) = -\infty.
Exemplo numérico: para x=2{,}1, h(2{,}1)\approx -4{,}41/0{,}1=-44{,}1.

Passo 4

Analisando a função (b) g(x)=\dfrac{x^{2}+4}{2-x}.\n
Reescrevendo 2-x=-(x-2) obtemos
g(x) = -\frac{x^{2}+4}{x-2}.
Perto de x=2^{+} temos x^{2}+4>0 (aprox. 8) e x-2\to0^{+}. Então \dfrac{x^{2}+4}{x-2}\to +\infty, e com o sinal negativo global
\lim_{x\to2^{+}} g(x) = -\infty.
Exemplo: para x=2{,}1, g(2{,}1)\approx -(8{,}41/0{,}1)=-84{,}1.

Passo 5

Analisando a função (c) j(x)=\dfrac{2x-6}{4-2x}.\n
Fatorando:
2x-6 = 2(x-3),\qquad 4-2x = -2(x-2),
logo
j(x)=\frac{2(x-3)}{-2(x-2)} = -\frac{x-3}{x-2}.
Agora, para x\to2^{+} temos x-3\to -1 (negativo) e x-2\to0^{+} (positivo muito pequeno). Portanto \dfrac{x-3}{x-2} tende a -\infty (negativo grande), e com o sinal menos na frente:
\lim_{x\to2^{+}} j(x) = +\infty.
Exemplo numérico: para x=2{,}1, (x-3)/(x-2)=-0{,}9/0{,}1=-9 e j(2{,}1)= -(-9)=+9. Portanto j(x) NÃO tende a -\infty; tende a +\infty.

Passo 6

Analisando a função (d) i(x)=\dfrac{x-3}{3x-6}.\n
Fatorando o denominador:
3x-6 = 3(x-2),
então
i(x)=\frac{x-3}{3(x-2)}.
Para x\to2^{+} temos x-3\to -1 (negativo) e 3(x-2)\to0^{+} (positivo muito pequeno), logo o quociente é negativo com módulo muito grande:
\lim_{x\to2^{+}} i(x) = -\infty.
Exemplo: para x=2{,}1, i(2{,}1)\approx -0{,}9/(3\cdot0{,}1)=-0{,}9/0{,}3=-3, e ao aproximar mais o denominador fica menor e a grandeza cresce negativamente.

Passo 7

Analisando a função (e) f(x)=\dfrac{-4}{x-2}.\n
Para x\to2^{+} temos numerador -4 (negativo constante) e denominador x-2\to0^{+} (positivo muito pequeno), então
\lim_{x\to2^{+}} f(x) = -\infty.
Exemplo: f(2{,}01)\approx -4/0{,}01 = -400.

Passo 8

Resumo do comportamento dos limites laterais pela direita em x=2:
\lim_{x\to2^{+}} h(x) = -\infty,
\lim_{x\to2^{+}} g(x) = -\infty,
\lim_{x\to2^{+}} j(x) = +\infty,
\lim_{x\to2^{+}} i(x) = -\infty,
\lim_{x\to2^{+}} f(x) = -\infty.
Portanto a única função que NÃO decresce ilimitadamente (não tende a -\infty) quando x\to2^{+} é a função da alternativa (c). Boa! Você já resolveu a peça chave: identificar sinais e simplificar para ver o sinal final.

Resposta

(c)

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