1. Qual a relação entre tensões de fase e de linha na ligação Y? E na ligação △ ?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas claras:
  • Qual a relação entre tensões de fase e tensões de linha na ligação Y (estrela)?
  • Qual a relação entre tensões de fase e tensões de linha na ligação \Delta (triângulo)?
Informações / pressupostos relevantes que vou usar (assuma estes no contexto típico de prova):
  • Sistema balanceado e em regime senoidal estacionário.
  • Sequência de fases positiva (as fases estão defasadas de 120^\circ entre si no sentido A\to B\to C).
  • Definição: tensão de fase é a tensão entre um terminal de fase e o neutro (por exemplo V_{AN}); tensão de linha é a tensão entre duas linhas (por exemplo V_{AB}).
    A resolução começa a partir dessas definições.

Passo 2

Defino os fasores das tensões de fase (escolha convetional de referência):
V_{AN} = V_{ph}\angle 0^\circ,\qquad V_{BN} = V_{ph}\angle -120^\circ,\qquad V_{CN} = V_{ph}\angle +120^\circ.
Aqui V_{ph} é o valor eficaz (magnitude) da tensão de fase (fase–neutro). A ideia: calcular as tensões de linha como diferenças entre fases, por exemplo:
V_{AB} = V_{AN} - V_{BN}.
Vou calcular V_{AB} explicitamente para obter a relação magnitude/ângulo.

Passo 3

Cálculo direto de V_{AB}:
V_{AB}=V_{AN}-V_{BN}=V_{ph}\left(1 - e^{-j120^\circ}\right).
Agora escrevo e^{-j120^\circ} em componentes:
e^{-j120^\circ}=\cos(120^\circ)-j\sin(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
1-e^{-j120^\circ}=1 -\left(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calculo magnitude e ângulo do fator:
  • Magnitude:
\left|\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right| =\sqrt{\left(\tfrac{3}{2}\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}} =\sqrt{\tfrac{12}{4}}=\sqrt{3}.
  • Ângulo:
\arg\!\left(\tfrac{3}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) =\arctan\!\left(\dfrac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\right) =\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=30^\circ.
Logo
V_{AB}= \sqrt{3}\,V_{ph}\angle 30^\circ.

Passo 5

Interpretação geral para a ligação Y (resumo prático):
  • Em módulo: \left|V_{LL}\right|=\sqrt{3}\,\left|V_{ph}\right|.
  • Em fase: a tensão de linha correspondente (ex.: V_{AB}) está deslocada de +30^\circ em relação à tensão de fase de referência V_{AN} (para sequência positiva). Para as outras linhas os deslocamentos são análogos (um lead de 30^\circ ou lag de 30^\circ dependendo da referência escolhida).
    Observação prática curta: é comum na prática elétrica dizer “ V_{LL}=\sqrt{3}V_{ph}” e lembrar do deslocamento angular de 30^\circ.

Passo 6

Agora a ligação \Delta. Na ligação \Delta cada impedância de fase está ligada diretamente entre duas linhas, portanto a tensão aplicada a cada fase é exatamente a tensão entre essas duas linhas. Ou seja:
V_{phase\_branch}=V_{line}.
Em termos simples: para cada ramo do \Delta a tensão de fase (a tensão no elemento) é igual à tensão de linha que aparece nos terminais desse ramo — mesma magnitude e mesmo ângulo.

Passo 7

Exemplos numéricos rápidos para fixar:
  • Se numa ligação Y V_{ph}=230\\ \text{V}, então
V_{LL}=\sqrt{3}\times 230\\ \text{V}\approx 398\\ \text{V},
com deslocamento de 30^\circ no fasor correspondente.
  • Se num \Delta a tensão de linha é 400\\ \text{V}, então a tensão em cada fase do \Delta também é 400\\ \text{V} (mesma fase).

Passo 8

Observações finais importantes para a prova (dicas rápidas):
  • Essas fórmulas valem para sistemas balanceados e senoidais; se o sistema for desequilibrado ou tiver sequência negativa, o ângulo relativo muda conforme a sequência.
  • Na Y o fator \sqrt{3} aparece porque a tensão de linha é a diferença entre duas tensões de fase defasadas de 120^\circ (essa diferença resulta em magnitude \sqrt{3} vezes maior).
  • Na \Delta não ocorre esse acréscimo porque cada fase está diretamente entre duas linhas.

Resposta

Y:\quad V_{LL}=\sqrt{3}\,V_{ph} em magnitude; o fasor de V_{LL} está deslocado +30^\circ (para sequência positiva) em relação ao fasor de referência de fase.
\Delta:\quad V_{phase}=V_{line} (cada tensão de fase do \Delta é igual em magnitude e ângulo à tensão de linha correspondente).

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