fazendo a mudança de variáveis . Confira o resultado calculando a integral diretamente.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre a região definida por e , usando a mudança de variáveis , . O tema é integrais duplas com mudança de variáveis, então vamos precisar do jacobiano da transformação e de descrever a imagem de no plano .
Passo 2
Da transformação , temos que a soma fica
O jacobiano é dado por
logo |J|=2 e dx,dy = 2,du,dv.
Passo 3
Para mapear a região D em (u,v) usamos as desigualdades:
0 <= y = u - v implies u >= v,
y <= x implies u - v <= u + v implies v >= 0,
0 <= x = u + v <= 1 implies u + v <= 1
Também vem de x,y>=0 que u+v>=0, mas isso já está garantido por u>= v>=0. Então a imagem é o triângulo
0 <= v <= tfrac12, v <= u <= 1 - v
Passo 4
Agora montamos a integral em (u,v). O integrando é $ (x+y),dx,dy = 2u \cdot 2,du,dv = 4u,du,dv$. Assim
(x+y),dx,dy = 2u cdot 2,du,dv = 4u,du,dv
Primeiro integramos em integral duplaD (x+y),dx,dy = integralv=0^1/2!integralu=v^1-v 4u,du,dv :
u
Depois em integralu=v^1-v4u,du = l[2u^2r]u=v^1-v = 2(1-v)^2 - 2v^2 = 2-4v :