Seja D a região 0 <= y <= x e 0 <= x <= 1. Calcule
integral duplaD(x+y) d x d y
fazendo a mudança de variáveis x=u+v, y=u-v. Confira o resultado calculando a integral diretamente.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla de (x+y) sobre a região D definida por 0 <= y <= x e 0 <= x <= 1, usando a mudança de variáveis x=u+v, y=u-v. O tema é integrais duplas com mudança de variáveis, então vamos precisar do jacobiano da transformação e de descrever a imagem de D no plano (u,v).

Passo 2

Da transformação x=u+v, y=u-v temos que a soma fica
x+y = (u+v)+(u-v) = 2u
O jacobiano é dado por
J = det partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v = det1 & 11 & -1 = -1-1 = -2,
logo |J|=2 e dx,dy = 2,du,dv.

Passo 3

Para mapear a região D em (u,v) usamos as desigualdades:
0 <= y = u - v implies u >= v,
y <= x implies u - v <= u + v implies v >= 0,
0 <= x = u + v <= 1 implies u + v <= 1
Também vem de x,y>=0 que u+v>=0, mas isso já está garantido por u>= v>=0. Então a imagem é o triângulo
0 <= v <= tfrac12, v <= u <= 1 - v

Passo 4

Agora montamos a integral em (u,v). O integrando é $ (x+y),dx,dy = 2u \cdot 2,du,dv = 4u,du,dv$. Assim
(x+y),dx,dy = 2u cdot 2,du,dv = 4u,du,dv
Primeiro integramos em integral duplaD (x+y),dx,dy = integralv=0^1/2!integralu=v^1-v 4u,du,dv :
u
Depois em integralu=v^1-v4u,du = l[2u^2r]u=v^1-v = 2(1-v)^2 - 2v^2 = 2-4v :
v

Passo 5

Para conferir, calculamos direto:
integralx=0^1!integraly=0^x(x+y),dy,dx = integral0^1l[xy + tfracy^22r]y=0^y=xdx = integral0^1l(x^2 + tfracx^22r)dx = tfrac32integral0^1x^2,dx = tfrac32 cdot tfrac13 = tfrac12

Resposta

\tfrac12

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