Preencha o espaço vazio com a relação apropriada para cada caso:
-3 \_\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-9=0\right\};

Passo 1

O enunciado pede para preencher o espaço vazio com a relação apropriada na expressão abaixo:
-3\\ \_\\ \{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-9=0\}.
Informações dadas:
  • Há o número -3.
  • Há o conjunto descrito por uma condição: \{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-9=0\}.
    A tarefa é identificar qual relação (por exemplo \in, \notin, \subset, etc.) deve ser colocada no espaço em branco.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar explicitamente quais são os elementos do conjunto \{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-9=0\}.
A equação a resolver é
x^{2}-9=0.
Isso é uma equação quadrática que pode ser fatorada usando diferença de quadrados:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Para que o produto seja zero, pelo princípio do produto nulo, basta que uma das parcelas seja zero. Assim temos as soluções
x-3=0\quad\text{ou}\quad x+3=0,
ou seja
x=3\quad\text{ou}\quad x=-3.
Portanto o conjunto é
\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-9=0\}=\{-3,\,3\}.

Passo 3

Agora precisamos entender o significado dos símbolos possíveis:
  • O símbolo \in significa “pertence a” (o elemento está no conjunto).
  • O símbolo \notin significa “não pertence a”.
  • Símbolos como \subset ou \supset relacionam conjuntos entre si (subconjunto/superconjunto) e não se aplicam corretamente entre um número e um conjunto quando a intenção é indicar pertinência.
Queremos verificar se o número -3 é um dos elementos do conjunto. Como acabamos de obter que o conjunto é \{-3,\,3\}, vemos que -3 aparece explicitamente na lista de elementos.

Passo 4

Como -3 está entre os elementos do conjunto \{-3,\,3\}, a relação correta é de pertinência. Escrevendo isso com o símbolo adequado, obtemos:
-3\in\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-9=0\}.

Resposta

-3 \in \{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-9=0\}

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