Escreva os conjuntos abaixo, explicitando todos os seu elementos:
A=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x^{2}-4=0\right\};

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos explicitamente todos os elementos do conjunto
\displaystyle A=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-4=0\right\}.
Ou seja: identificar todos os números reais x que satisfazem a equação \displaystyle x^{2}-4=0.

Passo 2

Entendendo a notação do conjunto: \displaystyle \{x\in\mathbb{R}\mid \text{condição}\}çã significa “o conjunto de todos os x que são números reais e que satisfazem a condição”. Aqui a condição é \displaystyle x^{2}-4=0. Portanto precisamos resolver a equação \displaystyle x^{2}-4=0 e listar as soluções reais.

Passo 3

Resolver a equação. Começamos escrevendo:
x^{2}-4=0.
Reconhecemos que \displaystyle x^{2}-4 é uma diferença de quadrados. A fórmula geral é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui podemos tomar a=x e b=2. Aplicando a fatoração:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 4

Usamos a propriedade do produto nulo (zero): se um produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim, a equação
(x-2)(x+2)=0
implica que
x-2=0 \quad\text{ou}\quad x+2=0.

Passo 5

Resolvendo cada caso:
  • Se \displaystyle x-2=0, então \displaystyle x=2.
  • Se \displaystyle x+2=0, então \displaystyle x=-2.
Verificação rápida (substituição): para \displaystyle x=2, \displaystyle 2^{2}-4=4-4=0. Para \displaystyle x=-2, \displaystyle (-2)^{2}-4=4-4=0. Ambas são soluções reais válidas.

Resposta

\{-2,2\}

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