Com relação às equações diferenciais homogêngeas:
(a) Como se caracteriza uma edo homogênea?

Passo 1

O enunciado pergunta como a gente reconhece uma equação diferencial de primeira ordem homogênea, ou seja, em qual situação podemos aplicar o método de substituição baseado na razão y/x. Vamos precisar do conceito de função homogênea e da forma geral de uma EDO de primeira ordem.

Passo 2

Uma EDO de primeira ordem escrita como
dydx = f(x,y)
é chamada de homogênea quando a função f(x,y) é homogênea de grau zero. Isso significa que, para todo t neq 0, vale:
f(tx,ty) = t^0 , f(x,y) = f(x,y)
Outra forma prática de ver isso é que f(x,y) depende apenas da razão y/x, ou seja, existe uma função g tal que:
f(x,y) = gl(yxr)

Passo 3

Quando temos essa característica, podemos fazer a substituição v = y/x para transformar a EDO em uma de variáveis separáveis, facilitando a resolução.

Resposta

Uma EDO de primeira ordem dy/dx = f(x,y) é homogênea se f(x,y) for uma função homogênea de grau zero, isto é, se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t, equivalendo a dizer que f(x,y)=g(y/x).

Exercícios relacionados