Com relação às edos exatas da forma M(x, y) d x+N(x, y) d y=0:
(d) Para o caso de não ser uma edo exata, como transformá-la em uma edo exata?

Passo 1

Estamos estudando equações diferenciais exatas da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e queremos ver como torná-la exata quando ela não é.

Passo 2

A condição de exatidão é dada por igualar as derivadas parciais: precisamos de partial M/partial y = partial N/partial x. Se isso não vale, a EDO não é exata.

Passo 3

Para consertar isso, procuramos um fator integrante que multiplique a equação e faça surgir a exatidão. Um caso comum é um fator que depende só de x, digamos mu(x).

Passo 4

Assumimos mu = mu(x) e exigimos que a nova equação mu M,dx + mu N,dy=0 seja exata. Isso leva a
dmudx = mu ;partial N/partial x - partial M/partial yN,,

Passo 5

de onde
$$\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N},dx\Bigr),.
$$

Passo 6

Se em vez disso a combinação
partial N/partial x - partial M/partial yM depender apenas de y, então podemos usar um fator integrante mu(y) = expl(integral [(partial N/partial x - partial M/partial y)/M],dyr).

Passo 7

Depois de achar mu(x) ou mu(y), basta multiplicar a EDO original por esse fator, verificar a exatidão e integrar normalmente.

Resposta

Multiplicar a EDO por um fator integrante mu(x) ou mu(y) escolhido de modo que satisfaça
$$\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N},dx\Bigr)\quadou\quad
\mu(y)=\exp\Bigl(\int\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M},dy\Bigr)$$
assim a equação torna-se exata.

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