Com relação às edos exatas da forma
:
(d) Para o caso de não ser uma edo exata, como transformá-la em uma edo exata?
(d) Para o caso de não ser uma edo exata, como transformá-la em uma edo exata?
Passo 1
Estamos estudando equações diferenciais exatas da forma
e queremos ver como torná-la exata quando ela não é.
Passo 2
A condição de exatidão é dada por igualar as derivadas parciais: precisamos de
. Se isso não vale, a EDO não é exata.
Passo 3
Para consertar isso, procuramos um fator integrante que multiplique a equação e faça surgir a exatidão. Um caso comum é um fator que depende só de
, digamos
.
Passo 4
Assumimos
e exigimos que a nova equação
seja exata. Isso leva a
Passo 5
de onde
$$\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N},dx\Bigr),.
$$
Passo 6
Se em vez disso a combinação
Passo 7
Depois de achar
ou
, basta multiplicar a EDO original por esse fator, verificar a exatidão e integrar normalmente.
Resposta
Multiplicar a EDO por um fator integrante
ou
escolhido de modo que satisfaça
$$\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N},dx\Bigr)\quadou\quad
\mu(y)=\exp\Bigl(\int\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M},dy\Bigr)$$
assim a equação torna-se exata.
assim a equação torna-se exata.