Resolva a equação linear de segunda ordem
Para as condições iniciais
e entrada
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais $ y(0^{+}) = 2 $, $ x(0^{+}) = 0 $, $ \frac{dy(0^{+})}{d t} = 1 $ e a entrada $ x(t) = e^{-4 t} u(t) $. Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação, já que ela facilita muito o trabalho com equações diferenciais e condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituímos as condições iniciais $ y(0^{+}) = 2 $, $ x(0^{+}) = 0 $ e $ \frac{dy(0^{+})}{dt} = 1 $ na equação transformada:
Simplificando:
Passo 4
Agrupamos os termos que contêm $ Y(s) $ e os termos constantes:
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Passo 5
Sabemos que $ x(t) = e^{-4 t} u(t) $, então a Transformada de Laplace de $ x(t) $ é:
Substituindo $ X(s) $ na expressão de $ Y(s) $:
Vamos simplificar o numerador:
Expandindo:
Então:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador:
Então, a expressão fica:
Para facilitar a inversão, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 4)(s + 2)(s + 3) $:
Passo 7
Agora, encontramos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ substituindo valores específicos de $ s $:
- Para $ s = -4 $:
- Para $ s = -2 $:
- Para $ s = -3 $:
Então, temos:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: