Resolva a equação linear de segunda ordem
d^2 y(t)d t^2+5 d y(t)d t+6 y(t)=d x(t)d t+x(t)
Para as condições iniciais x(t)= e entrada e^-4 t u(t) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
d^2 y(t)d t^2 + 5 d y(t)d t + 6 y(t) = d x(t)d t + x(t)
com as condições iniciais $ y(0^{+}) = 2 $, $ x(0^{+}) = 0 $, $ \frac{dy(0^{+})}{d t} = 1 $ e a entrada $ x(t) = e^{-4 t} u(t) $. Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação, já que ela facilita muito o trabalho com equações diferenciais e condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de uma derivada é dada por:
Ld y(t)dt = s Y(s) - y(0^+)
Ld^2 y(t)dt^2 = s^2 Y(s) - s y(0^+) - d y(0^+)dt
Aplicando isso na nossa equação:
s^2 Y(s) - s y(0^+) - d y(0^+)dt + 5 ( s Y(s) - y(0^+) ) + 6 Y(s) = s X(s) - x(0^+) + X(s)

Passo 3

Substituímos as condições iniciais $ y(0^{+}) = 2 $, $ x(0^{+}) = 0 $ e $ \frac{dy(0^{+})}{dt} = 1 $ na equação transformada:
y(0^+) = 2
Simplificando:
x(0^+) = 0

Passo 4

Agrupamos os termos que contêm $ Y(s) $ e os termos constantes:
Y(s)
Agora, isolamos $ Y(s) $:
( s^2 + 5s + 6 ) Y(s) - 2s - 11 = (s + 1) X(s)

Passo 5

Sabemos que $ x(t) = e^{-4 t} u(t) $, então a Transformada de Laplace de $ x(t) $ é:
x(t) = e^-4 t u(t)
Substituindo $ X(s) $ na expressão de $ Y(s) $:
x(t)
Vamos simplificar o numerador:
X(s) = 1s + 4
Expandindo:
X(s)
Então:
Y(s)

Passo 6

Vamos fatorar o denominador:
s^2 + 5s + 6 = (s + 2)(s + 3)
Então, a expressão fica:
Y(s) = 2s^2 + 20s + 45(s + 4)(s + 2)(s + 3)
Para facilitar a inversão, vamos decompor em frações parciais:
2s^2 + 20s + 45(s + 4)(s + 2)(s + 3) = As + 4 + Bs + 2 + Cs + 3
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 4)(s + 2)(s + 3) $:
(s + 4)(s + 2)(s + 3)

Passo 7

Agora, encontramos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ substituindo valores específicos de $ s $:
  • Para $ s = -4 $:
A
  • Para $ s = -2 $:
B
  • Para $ s = -3 $:
C
Então, temos:
s

Passo 8

Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $:
y(t)

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(t) = -32 e^-4t + 132 e^-2t - 3 e^-3t

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