Em relação à equação diferencial
, é correto afirmar que:
a.
é a solução geral da equação
b.
c.
é a solução geral da equação
d.
é a solução geral da equação
e.
é a solução geral da equação
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo
. A gente precisa descobrir qual das alternativas apresentadas está correta em relação à solução geral dessa equação. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e resolver a equação característica para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada. Para isso, vamos resolver a equação característica associada. A equação diferencial é:
A equação característica correspondente é:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Aí vemos que o discriminante (
) é negativo (
), o que indica que as raízes são complexas. Vamos expressar a raiz como:
Então, temos raízes da forma
, onde
e
.
Passo 5
Quando as raízes são complexas do tipo
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos analisar as alternativas apresentadas para ver qual delas corresponde à solução que encontramos:
a.
— não tem os termos de seno e cosseno, então está errada.
b.
— como temos
, que tende a zero quando
vai para infinito, essa afirmação está correta.
c.
— novamente, falta os termos trigonométricos, está errada.
d.
— o expoente de
está errado, deveria ser
, então está errada.
e.
— o expoente de
tem o sinal invertido, então está errada.
Resposta
A alternativa b.
está correta.