Em relação à equação diferencial 4 y^prime prime+4 y^prime+5 y=0, é correto afirmar que:
a. y(t)=C1 e^12 t+C2 e^-12 t é a solução geral da equação
b. lim t infty y(t)=0
c. y(t)=C1 e^2 t+C2 e^-2 t é a solução geral da equação
d. y(t)=e^2 t(C1 cos t+C2 sin t) é a solução geral da equação
e. y(t)=e^12 t(C1 cos t+C2 sin t) é a solução geral da equação

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo 4 y'' + 4 y' + 5 y = 0. A gente precisa descobrir qual das alternativas apresentadas está correta em relação à solução geral dessa equação. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e resolver a equação característica para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada. Para isso, vamos resolver a equação característica associada. A equação diferencial é:
4 y'' + 4 y' + 5 y = 0
A equação característica correspondente é:
4 r^2 + 4 r + 5 = 0

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática 4 r^2 + 4 r + 5 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 4, b = 4 e c = 5. Substituindo esses valores:
r = -4 pm raiz4^2 - 4 cdot 4 cdot 52 cdot 4 = -4 pm raiz16 - 808 = -4 pm raiz-648

Passo 4

Aí vemos que o discriminante ( b^2 - 4ac) é negativo ( -64), o que indica que as raízes são complexas. Vamos expressar a raiz como:
r = -48 pm raiz64i8 = -12 pm i
Então, temos raízes da forma lambda pm mu i , onde lambda = -12 e mu = 1.

Passo 5

Quando as raízes são complexas do tipo lambda pm mu i, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(t) = e^lambda t (C1 cos(mu t) + C2 sin(mu t))
Substituindo lambda e mu:
y(t) = e^-12 t (C1 cos(t) + C2 sin(t))

Passo 6

Agora, vamos analisar as alternativas apresentadas para ver qual delas corresponde à solução que encontramos:
a. y(t) = C1 e^12 t + C2 e^-12 t — não tem os termos de seno e cosseno, então está errada.
b. lim t infty y(t)=0 — como temos e^-12 t, que tende a zero quando t vai para infinito, essa afirmação está correta.
c. y(t) = C1 e^2 t + C2 e^-2 t — novamente, falta os termos trigonométricos, está errada.
d. y(t) = e^2 t (C1 cos t + C2 sin t) — o expoente de e está errado, deveria ser -12 t, então está errada.
e. y(t) = e^12 t (C1 cos t + C2 sin t) — o expoente de e tem o sinal invertido, então está errada.

Resposta

A alternativa b. lim t infty y(t)=0 está correta.

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