Considere o PVI

l y^prime prime+y^prime-2 y=0 y(0)=2, y^prime(0)=alpha
Se lim t infty y(t)=0 então:
a. alpha=2
b. alpha=-2
c. alpha=1
d. alpha=0
e. alpha=-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais. O que isso significa? Basicamente, queremos encontrar uma função y(t) que satisfaça a equação y'' + y' - 2y = 0 e que, quando t = 0 , y(0) = 2 e y'(0) = alpha . Nosso objetivo é descobrir qual valor de alpha faz com que, quando t vai para o infinito ( t infty ), y(t) se aproxime de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas e analisar o comportamento das soluções no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea y'' + y' - 2y = 0 . Para isso, vamos achar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo y por e^rt , onde r é uma constante que queremos encontrar.
Substituindo, temos:
r^2 e^rt + r e^rt - 2 e^rt = 0
Podemos dividir todos os termos por e^rt (que nunca é zero) e ficamos com:
r^2 + r - 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática r^2 + r - 2 = 0 . Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 1 e c = -2 . Substituindo:
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, temos duas raízes:
r1 = 22 = 1 e r2 = -42 = -2

Passo 4

Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-2t
Aqui, C1 e C2 são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = alpha .
Primeiro, para t = 0 :
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 2 (Equação 1) çã
Agora, vamos achar y'(t) :
y'(t) = C1 e^t - 2 C2 e^-2t
Aplicando t = 0 :
y'(0) = C1 - 2 C2 = alpha (Equação 2) çã

Passo 6

Temos um sistema de duas equações para [C_1) e :
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos isolar (C_1]:
Substituindo na segunda equação:
E então:

Passo 7

Agora, nossa solução geral fica:
y(t) = 4 + alpha3 e^t + 2 - alpha3 e^-2t
Queremos que limt to infty y(t) = 0 . Vamos analisar cada termo:
  • e^t cresce exponencialmente para infinito quando t to infty .
  • e^-2t decai exponencialmente para zero quando t to infty .
Para que y(t) tende a zero, o termo que cresce e^t precisa ter coeficiente zero, ou seja:
4 + alpha3 = 0 4 + alpha = 0 alpha = -4

Resposta

A alternativa correta é a e. alpha = -4 .

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