Considere o PVI
Se
então:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com condições iniciais. O que isso significa? Basicamente, queremos encontrar uma função
que satisfaça a equação
e que, quando
,
e
. Nosso objetivo é descobrir qual valor de
faz com que, quando
vai para o infinito (
),
se aproxime de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas e analisar o comportamento das soluções no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, vamos achar a equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo
por
, onde
é uma constante que queremos encontrar.
Substituindo, temos:
Podemos dividir todos os termos por
(que nunca é zero) e ficamos com:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui,
e
são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais
e
.
Primeiro, para
:
Agora, vamos achar
:
Aplicando
:
Passo 6
Temos um sistema de duas equações para [C_1) e
:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos isolar (C_1]:
Substituindo na segunda equação:
E então:
Passo 7
Agora, nossa solução geral fica:
Queremos que
. Vamos analisar cada termo:
-
cresce exponencialmente para infinito quando . -
decai exponencialmente para zero quando .
Para que
tende a zero, o termo que cresce
precisa ter coeficiente zero, ou seja:
Resposta
A alternativa correta é a e.
.