Resolva as equações diferencias:
y d x+(x-12 x^3 y) d y equiv 0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y,dx + l(x - tfrac12 x^3yr),dy = 0
e pede sua solução geral. Podemos reescrevê-la como uma equação de Bernoulli em x(y), pois vamos isolar tfracdxdy e obter termo em x^3.

Passo 2

Dividindo toda a equação por dy e por y (supondo yneq0), temos
dxdy + 1y,x = 12,x^3
Isto é uma equação de Bernoulli com expoente n=3, do tipo
dxdy + P(y),x = Q(y),x^n,
onde P(y)=1/y e Q(y)=1/2.

Passo 3

Para resolver Bernoulli, usamos a mudança de variável
u = x^,1-n = x^-2
Calculamos
dudy = -2,x^-3,dxdy
Substituindo dxdy da equação original, obtemos uma equação linear em u:
dudy - 2y,u = -1

Passo 4

Essa equação linear tem fator integrante
mu(y)=expl(integral -tfrac2y,dyr)=y^-2
Multiplicando por y^-2 e reconhecendo derivada de produto, vem
ddyl(u,y^-2r) = -y^-2
Integrando em y,
u,y^-2 = integral -y^-2,dy = 1y + C Longrightarrow u = y + C,y^2

Passo 5

Voltando à variável original x, lembrando que u=x^-2, obtemos a solução geral implícita
x^-2 = y + C,y^2

Resposta

1x^2 = y + C,y^2

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