A solução geral da EDO y^prime prime+2 y^prime=3 e^-2 t é:
a. y(t)=C1+C2 e^2 t-3 t e^-2 t
b. y(t)=C1+C2 e^-2 t-32 t^2 e^-2 t
c. y(t)=C1+C2 e^2 t-2 t^2 e^-2 t
d. y(t)=C1+C2 e^-2 t-32 t e^-2 t
e. y(t)=C1+C2 e^-2 t-2 t e^-2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: y'' + 2 y' = 3 e^-2t . Para isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral de uma EDO lineares. A gente vai dividir a solução em duas partes: a solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada: y'' + 2 y' = 0 . Para isso, montamos a equação característica substituindo y por e^rt :
r^2 + 2r = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r(r + 2) = 0 implies r = 0 ou r = -2
Então, as soluções da homogênea são e^0t = 1 e e^-2t . Assim, a solução geral da homogênea é:
yh(t) = C1 + C2 e^-2t

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observamos que o termo já está presente na solução homogênea, então tentamos uma solução particular da forma:
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo , e na EDO:
Simplificando:
Os termos com se cancelam:
Resolvendo para :
Então, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da EDO:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 e^-2t - 32 t e^-2t

Resposta

A alternativa correta é:
d. y(t) = C1 + C2 e^-2 t - 32 t e^-2 t

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