Qual a relação entre a função comprimento de arco de e o parâmetro ?
De fato, se (ou seja, o comprimento de medido a partir de a é ) então
para todo t in[a, b]. Reciprocamente, se |F^prime(t)|=1 então s(t)=integrala^t d t=t-a.
Portanto, a curva F(t) esta parametrizada pelo comprimento de arco se e somente se seu comprimento medido a partir de a ét.
Toda curva F:[a, b] R^3 pode ser reparametrizada pelo comprimento de arco.
Passo 1
A questão quer saber como a função comprimento de arco s(t) de uma curva F:[a,b]to R^3 se relaciona com o parâmetro t. Vamos usar o conceito de comprimento de arco e a regra fundamental do cálculo.
Passo 2
Definimos o comprimento de arco a partir de a até t por
s(t)=integrala^tl|F'(u)r|,du
Pela regra fundamental do cálculo, ao derivar essa integral em relação a t obtemos
s'(t)=l|F'(t)r|
Passo 3
Agora, se a curva já estiver parametrizada pelo comprimento de arco, isso significa que, medindo a distância desde a, o parâmetro t coincide com o próprio comprimento. Em outras palavras, temos
s(t)=t-a
Derivando em t dá
s'(t)=1,
o que, pela relação anterior, implica
l|F'(t)r|=1
Passo 4
Reciprocamente, se a velocidade da curva satisfaz |F'(t)|=1 para todo t, então
s(t)=integrala^t1,du = t-a
Logo, o parâmetro t é exatamente o comprimento de arco medido desde a.
Passo 5
Concluímos que a curva F(t) está parametrizada por comprimento de arco se e somente se
|F'(t)|=1
para todo t. E, de fato, qualquer curva diferenciável com velocidade nunca nula pode ser reparametrizada pelo seu comprimento de arco usando s(t) como novo parâmetro.
Resposta
A relação geral é
s'(t)=|F'(t)|
Em particular, F está parametrizada por comprimento de arco quando |F'(t)|=1, caso em que s(t)=t-a