Com relação as funçẽs abaixo, responda:
As derivadas parciais existem? Se sim, determine-as;

Passo 1

A função é dada por f(x,y)= x^2-y^2x^2+y^2 quando (x,y)neq(0,0) e f(0,0)=0. Vamos determinar as derivadas parciais usando duas ideias: para (x,y)neq(0,0) aplicamos a regra do quociente e, em (0,0), usamos a definição de derivada parcial como limite de diferença.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) aplicamos a regra do quociente a f(x,y)=u(x,y)v(x,y) com u(x,y)=x^2-y^2 e v(x,y)=x^2+y^2. Calculamos fx=uxv-uvxv^2 e fy=uyv-uvyv^2.
Derivando u e v: ux=2x, uy=-2y, vx=2x, vy=2y. Substituindo em fx:
fx(x,y)=(2x)(x^2+y^2)-(x^2-y^2)(2x)(x^2+y^2)^2 =2x^3+2xy^2-2x^3+2xy^2(x^2+y^2)^2 =4xy^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para fy temos:
fy(x,y)=(-2y)(x^2+y^2)-(x^2-y^2)(2y)(x^2+y^2)^2 =-2yx^2-2y^3-2yx^2+2y^3(x^2+y^2)^2 =-4x^2y(x^2+y^2)^2

Passo 4

Em (0,0) usamos a definição fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h. Como f(h,0)=h^2-0h^2+0=1,
fx(0,0)=limhto01-0h=limhto01h, que não existe (vai a +infty ou -infty dependendo do sinal de h). Mesma ideia para fy(0,0):
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-0k=-1k, que também não existe.

Passo 5

Concluímos que as derivadas parciais existem para (x,y)neq(0,0) e são dadas acima, mas não existem em (0,0).

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x=4xy^2(x^2+y^2)^2, partial fpartial y=-4x^2y(x^2+y^2)^2
Em (0,0): as derivadas parciais fx(0,0) e fy(0,0) não existem.

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