Resolva os PVIs abaixo.
(a) t y y^prime=1, y(1)=7

Passo 1

Temos o PVI t,y,y'=1 com a condição inicial y(1)=7. O conteúdo aqui é EDO de variáveis separáveis, então vamos isolar y e t.

Passo 2

Reescrevendo a equação, fica t,y,dydt=1. Separe as variáveis assim:
y,dy = 1t,dt

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral y,dy = integral 1t,dt Longrightarrow 12y^2 = ln|t| + C

Passo 4

Usando a condição inicial y(1)=7:
12cdot7^2 = ln1 + C Longrightarrow 492 = 0 + C Longrightarrow C = 492

Passo 5

Substituindo C na solução geral:
12y^2 = ln|t| + 492 Longrightarrow y^2 = 2ln|t| + 49

Passo 6

Como y(1)=7>0 e estamos em t>0, escolhemos o ramo positivo de y.

Resposta

y(t)=raiz49 + 2ln t, t>0

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