Com relação as funçẽs abaixo, responda:
A função é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f: R^2to R, definida por
f(x,y)= dfracx^4x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
é contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de limite em duas variáveis e mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0.

Passo 2

Para calcular o limite (x,y)to(0,0), introduzimos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, r=raizx^2+y^2>0
Substituindo em f para r>0 obtemos

Passo 3

f(r,theta)=(rcostheta)^4r^2=r^2cos^4theta

Passo 4

Observamos que
|f(r,theta)|=r^2|cos^4theta|<= r^2,
e como r=raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), segue que
f(r,theta)to0. Assim
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Passo 5

Visto que o limite vale 0 e f(0,0)=0, concluímos que lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0). Portanto, pela definição de continuidade, f é contínua em (0,0).

Resposta

Sim. Como lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), a função é contínua em (0,0).

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