Com relação as funçẽs abaixo, responda:
A função é contínua em
? Justifique.
A função é contínua em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
, definida por
é contínua no ponto
(0,0) . Para isso, vamos usar o conceito de limite em duas variáveis e mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0 .
Passo 2
Para calcular o limite
(x,y)to(0,0) , introduzimos coordenadas polares:
Substituindo em
f para
r>0 obtemos
Passo 3
Passo 4
Observamos que
e como
r=raizx^2+y^2to0 quando
(x,y)to(0,0) , segue que
f(r,theta)to0 . Assim
Passo 5
Visto que o limite vale 0 e
f(0,0)=0 , concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0) . Portanto, pela definição de continuidade,
f é contínua em
(0,0) .
Resposta
Sim. Como
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0) , a função é contínua em
(0,0) .