Com relação as funçẽs abaixo, responda:
A função é diferenciável em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

Temos a função de duas variáveis dada por
f(x,y)= x^2-y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
O que queremos saber é se ela é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos usar que diferenciabilidade em (0,0) exige, antes de tudo, que f seja contínua em (0,0).

Passo 2

Lembrando que diferenciabilidade implica continuidade, ou seja, se f fosse diferenciável em (0,0) teríamos necessariamente
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Portanto, basta verificar se esse limite existe e coincide com 0.

Passo 3

Vamos examinar o limite ao longo do eixo x, isto é, tomando y=0 e x\to0. Nesse caso, para x\neq0 temos
f(x,0)=x^2-0^2x^2+0^2=1
Logo
limxto0f(x,0)=1neq0
Isso mostra que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não é 0.

Passo 4

Como o limite não coincide com f(0,0), f não é contínua em (0,0). Logo, não pode ser diferenciável em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0), pois não é contínua nesse ponto.

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