Com relação as funçẽs abaixo, responda:
A função é diferenciável em
? Justifique.
A função é diferenciável em
Passo 1
Temos a função de duas variáveis dada por
O que queremos saber é se ela é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos usar que diferenciabilidade em (0,0) exige, antes de tudo, que f seja contínua em (0,0).
Passo 2
Lembrando que diferenciabilidade implica continuidade, ou seja, se f fosse diferenciável em (0,0) teríamos necessariamente
Portanto, basta verificar se esse limite existe e coincide com 0.
Passo 3
Vamos examinar o limite ao longo do eixo x, isto é, tomando y=0 e x\to0. Nesse caso, para x\neq0 temos
Logo
Isso mostra que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não é 0.
Passo 4
Como o limite não coincide com f(0,0), f não é contínua em (0,0). Logo, não pode ser diferenciável em (0,0).
Resposta
A função não é diferenciável em (0,0), pois não é contínua nesse ponto.