Resolva as EDOs abaixo.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
. O conteúdo aqui é uma equação de Bernoulli de grau 2, e vamos precisar usar a substituição que transforma essa EDO não linear em uma EDO linear.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão de Bernoulli:
Aqui o expoente de
Passo 3
Calculamos
a partir de
:
$$
u = \frac{1}{y},\qquad\frac{du}{dt} = -\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dt}.
\frac{du}{dt} = -\frac{1}{y^2}\bigl(2ty + t e{t2}y^2\bigr)= -2t\frac{1}{y} - t e{t2}= -2t,u - t e{t2}.$$
Isso é uma EDO linear em
:
Passo 4
O fator integrante é
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
$$
u e{t2} = \int -t e{2t2} ,dt + C.$$Para a integral, fazemos mudança
,
, logo
:
$$
u e{t2} = -\tfrac{1}{4}e{2t2} + C,$$de onde
$$
u = -\tfrac{1}{4}e{t2} + C e{-t2}.$$
Passo 6
Lembrando que
, temos
$$
y(t) = \frac{1}{C e{-t2} - \tfrac{1}{4}e{t2}}= \frac{4e{t2}}{4C - e{2t2}}.$$