Resolva as EDOs abaixo.
(a) d yd t=2 t y+t e^t^2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO dfracdydt = 2ty + t e^t^2 y^2. O conteúdo aqui é uma equação de Bernoulli de grau 2, e vamos precisar usar a substituição que transforma essa EDO não linear em uma EDO linear.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão de Bernoulli:
dydt - 2t,y = t e^t^2 y^2
Aqui o expoente de y no termo não linear é 2, ou seja, n = 2. A substituição típica para Bernoulli é u = y^1-n = y^-1.

Passo 3

Calculamos du/dt a partir de u = y^-1:
$$
u = \frac{1}{y},\qquad\frac{du}{dt} = -\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dt}. u = 1y,dudt = -1y^2dydt\frac{du}{dt} = -\frac{1}{y^2}\bigl(2ty + t e{t2}y^2\bigr)= -2t\frac{1}{y} - t e{t2}= -2t,u - t e{t2}.$$
Isso é uma EDO linear em dy/dt:
u

Passo 4

O fator integrante é
mu(t) = e^integral 2t,dt = e^t^2Multiplicando tudo por e^t^2 obtemos:
ddtl(u e^t^2r) = -t e^t^2 cdot e^t^2 = -t e^2t^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
$$
u e{t2} = \int -t e{2t2} ,dt + C.$$Para a integral, fazemos mudança u e^t^2 = integral -t e^2t^2 ,dt + C, w = 2t^2, logo dw = 4t,dt:
t,dt = dw/4Então
$$
u e{t2} = -\tfrac{1}{4}e{2t2} + C,$$de onde
$$
u = -\tfrac{1}{4}e{t2} + C e{-t2}.$$

Passo 6

Lembrando que nu = 1/y, temos
1y = -14e^t^2 + C e^-t^2Invertendo para achar y e simplificando:
$$
y(t) = \frac{1}{C e{-t2} - \tfrac{1}{4}e{t2}}= \frac{4e{t2}}{4C - e{2t2}}.$$

Resposta

y(t) = dfrac4e^t^24C - e^2t^2, com C constante de integração.

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