Com relação ao grupo de ponto Td, resolva os seguintes produtos diretos, efetuando a redução de caracteres se necessário.
E times E;

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em irredutíveis do produto direto ;Etimes E; no grupo de ponto Td. O conteúdo aqui é teoria de representações de grupos pontuais: vamos usar a tabela de caracteres de Td e a fórmula de redução de produtos diretos.

Passo 2

A ordem do grupo é h=24. As classes, seus tamanhos nR e os caracteres de E são
c|ccccc R & E & 8C3 & 3C2 & 6S4 & 6sigmadhline nR & 1 & 8 & 3 & 6 & 6 chiE(R)& 2 & -1 & 2 & 0 & 0

Passo 3

O caráter do produto direto é o produto ponto a ponto:
chiEtimes E(R);=;chiE(R),chiE(R) Longrightarrow 4,,1,,4,,0,,0
para as classes E,8C3,3C2,6S4,6sigmad.

Passo 4

A fórmula de redução diz que o número de vezes que a irreduzível Gamma^k entra em Etimes E é
ak ;=;1hsumR nR,chi^k(R),chiEtimes E(R)
Usamos os caracteres das irredutíveis de Td:
c|ccccc Gamma^k & E & 8C3 & 3C2 & 6S4 & 6sigmadhline chi^A1& 1 & 1 & 1 & 1 & 1 chi^A2& 1 & 1 & 1 & -1 & -1 chi^E & 2 & -1 & 2 & 0 & 0 chi^T1& 3 & 0 & -1 & 1 & -1 chi^T2& 3 & 0 & -1 & -1 & 1

Passo 5

Calculamos cada coeficiente:
Para A1:
aA1=124l(1cdot1cdot4+8cdot1cdot1+3cdot1cdot4+6cdot1cdot0+6cdot1cdot0r) =2424=1
Para A2:
aA2=124l(1cdot1cdot4+8cdot1cdot1+3cdot1cdot4+6cdot(-1)cdot0+6cdot(-1)cdot0r) =2424=1
Para E:
aE=124l(1cdot2cdot4+8cdot(-1)cdot1+3cdot2cdot4+6cdot0cdot0+6cdot0cdot0r) =2424=1
Para T1 e T2 dá zero.

Resposta

Etimes E ;=; A1 ;oplus; A2 ;oplus; E

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