Com relação ao grupo de ponto Td, resolva os seguintes produtos diretos, efetuando a redução de caracteres se necessário.
T1 times T2;

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em irreps do produto direto Gamma = T1 times T2 no grupo de ponto Td. Vamos usar caracteres das representações irreduzíveis e a fórmula de redução de caracteres para obter a soma direta de irreps.

Passo 2

Da tabela de caráter de Td temos as cinco classes E,;8C3,;3C2,;6S4,;6sigmad com ordens 1,8,3,6,6. Os caracteres de T1 e T2 são:
chi^T1(E)&=3,& chi^T1(C3)&=0,& chi^T1(C2)&=-1,& chi^T1(S4)&=1,& chi^T1(sigmad)&=-1, chi^T2(E)&=3,& chi^T2(C3)&=0,& chi^T2(C2)&=-1,& chi^T2(S4)&=-1,& chi^T2(sigmad)&=1

Passo 3

O caráter do produto é o produto ponto a ponto:
chi^T1times T2(g)=chi^T1(g),chi^T2(g),
logo
chi^T1times T2(E)&=3cdot3=9, chi^T1times T2(C3)&=0cdot0=0, chi^T1times T2(C2)&=(-1)cdot(-1)=1, chi^T1times T2(S4)&=1cdot(-1)=-1, chi^T1times T2(sigmad)&=(-1)cdot1=-1

Passo 4

Para decompor usamos a fórmula de redução
nalpha=1hsumg Ng,chi^alpha(g),chi^T1times T2(g),
com h=24. Calculamos nalpha para cada irrep alpha:
Para A1 ( chi^A1=(1,1,1,1,1)):
nA1=124[1cdot9+8cdot0+3cdot1+6cdot(-1)+6cdot(-1)]=0
Para A2 ( chi^A2=(1,1,1,-1,-1)):
nA2=124[1cdot9+8cdot0+3cdot1+6cdot(-1)cdot(-1)+6cdot(-1)cdot(-1)] =2424=1
Para E ( chi^E=(2,-1,2,0,0)):
nE=124[1cdot9cdot2+8cdot0cdot(-1)+3cdot1cdot2+6cdot(-1)cdot0+6cdot(-1)cdot0] =2424=1
Para T1 ( chi^T1=(3,0,-1,1,-1)):
nT1=124[1cdot9cdot3+8cdot0cdot0+3cdot1cdot(-1)+6cdot(-1)cdot1+6cdot(-1)cdot(-1)] =2424=1
Para T2 ( chi^T2=(3,0,-1,-1,1)):
nT2=124[1cdot9cdot3+8cdot0cdot0+3cdot1cdot(-1)+6cdot(-1)cdot(-1)+6cdot(-1)cdot1] =2424=1

Resposta

T1times T2=A2oplus Eoplus T1oplus T2

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