Representar na forma trigonométrica
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para representar algumas expressões na forma trigonométrica. A matéria que vamos usar aqui é sobre números complexos e como escrevê-los na forma trigonométrica, que é útil para visualizar e calcular operações com esses números. Para isso, vamos precisar entender como converter expressões que envolvem seno e cosseno junto com a unidade imaginária
na forma
.
Passo 2
Vamos começar pela letra a):
.
Primeiro, precisamos identificar a forma da expressão. Temos um termo com
e outro com
. Queremos escrevê-la na forma trigonométrica padrão
.
Passo 3
Para isso, notamos que
e
. Assim, a expressão
pode ser reescrita como
.
Passo 4
Agora, identificamos que a forma está na estrutura $ \cos(\phi) + i \sin(\phi)$ com
. O módulo
dessa expressão é 1, já que
.
Passo 5
Agora, vamos para a letra b):
.
Primeiro, observamos que todos os termos estão negativos. Podemos fatorar o sinal negativo para reescrever a expressão como
.
Passo 6
Reconhecemos que
já está na forma trigonométrica padrão
com
e
.
Passo 7
Aplicando o sinal negativo, temos que a expressão completa é simplesmente
multiplicado pela forma trigonométrica.
Passo 8
Vamos para a letra c):
.
Primeiro, observamos que os termos estão em ordem invertida em relação às funções trigonométricas padrão.
Passo 9
Queremos colocar a expressão na forma
, então podemos rearranjar os termos para combinar com essa estrutura.
Passo 10
Observamos que
e
. Ajustando a expressão com esses identitites:
Passo 11
Agora, vemos que a expressão está na forma
com
.
Passo 12
Finalmente, vamos para a letra d):
com
.
Primeiro, identificamos que temos uma parte real constante
somada com uma expressão trigonométrica
.
Passo 13
Podemos interpretar essa expressão como a soma de dois números complexos:
e
. Portanto:
Passo 14
Para escrever na forma trigonométrica, precisamos encontrar o módulo
e o argumento
dessa expressão.
O módulo
é dado por:
Simplificando:
Passo 15
O argumento
é o ângulo cuja tangente é
. Usando identidade trigonométrica:
Portanto,
.
Resposta
Assim,
na forma trigonométrica é
.