Representar na forma trigonométrica
a) cos theta-i sen theta
b) -cos theta-i sen theta
c) sen theta-i cos theta
d) 1+cos theta+i sen theta(0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para representar algumas expressões na forma trigonométrica. A matéria que vamos usar aqui é sobre números complexos e como escrevê-los na forma trigonométrica, que é útil para visualizar e calcular operações com esses números. Para isso, vamos precisar entender como converter expressões que envolvem seno e cosseno junto com a unidade imaginária i na forma r(cos phi + i sin phi).

Passo 2

Vamos começar pela letra a): cos theta - i sin theta.
Primeiro, precisamos identificar a forma da expressão. Temos um termo com cos theta e outro com -i sin theta. Queremos escrevê-la na forma trigonométrica padrão r(cos phi + i sin phi).

Passo 3

Para isso, notamos que cos(-theta) = cos theta e sin(-theta) = -sin theta. Assim, a expressão cos theta - i sin theta pode ser reescrita como cos(-theta) + i sin(-theta).

Passo 4

Agora, identificamos que a forma está na estrutura $ \cos(\phi) + i \sin(\phi)$ com cos(phi) + i sin(phi). O módulo phi = -theta dessa expressão é 1, já que r.

Passo 5

Agora, vamos para a letra b): -cos theta - i sin theta.
Primeiro, observamos que todos os termos estão negativos. Podemos fatorar o sinal negativo para reescrever a expressão como -(cos theta + i sin theta).

Passo 6

Reconhecemos que cos theta + i sin theta já está na forma trigonométrica padrão r(cos phi + i sin phi) com r = 1 e phi = theta.

Passo 7

Aplicando o sinal negativo, temos que a expressão completa é simplesmente -1 multiplicado pela forma trigonométrica.

Passo 8

Vamos para a letra c): sin theta - i cos theta.
Primeiro, observamos que os termos estão em ordem invertida em relação às funções trigonométricas padrão.

Passo 9

Queremos colocar a expressão na forma r(cos phi + i sin phi), então podemos rearranjar os termos para combinar com essa estrutura.

Passo 10

Observamos que sin theta = cos(theta - pi2) e cos theta = sin(theta + pi2). Ajustando a expressão com esses identitites:
sin theta - i cos theta = cos(theta - pi2) - i sin(theta - pi2)

Passo 11

Agora, vemos que a expressão está na forma cos(phi) + i sin(phi) com phi = theta - pi2.

Passo 12

Finalmente, vamos para a letra d): 1 + cos theta + i sin theta com 0 < theta < pi.
Primeiro, identificamos que temos uma parte real constante 1 somada com uma expressão trigonométrica cos theta + i sin theta.

Passo 13

Podemos interpretar essa expressão como a soma de dois números complexos: 1 = 1 + i cdot 0 e cos theta + i sin theta. Portanto:
1 + cos theta + i sin theta = (1 + cos theta) + i sin theta

Passo 14

Para escrever na forma trigonométrica, precisamos encontrar o módulo r e o argumento phi dessa expressão.
O módulo r é dado por:
r = raiz(1 + cos theta)^2 + (sin theta)^2
Simplificando:
r = raiz1 + 2cos theta + cos^2 theta + sin^2 theta = raiz2 + 2cos theta = 2 cos (theta2)

Passo 15

O argumento phi é o ângulo cuja tangente é sin theta1 + cos theta. Usando identidade trigonométrica:
tan phi = sin theta1 + cos theta = tan (theta2)
Portanto, phi = theta2.

Resposta

Assim, 1 + cos theta + i sin theta na forma trigonométrica é 2 cos(theta2) ( cos(theta2) + i sin(theta2) ).

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