Para um operador normal se \hat{M}|\Lambda\rangle=\lambda|\Lambda\rangle então \langle\Lambda| \hat{M}=\lambda\langle\Lambda|. Em um caso mais geral, os operadores ditos não-normais, \hat{M}|R\rangle=\lambda|R\rangle e \langle L| \hat{M}=\lambda\langle L|, onde |R\rangle e |L\rangle são os autovetores esquerdos e direitos. Com base nisso, responda as seguintes questões:
(a) Para qualquer matriz quadrada, mostre que \left\langle L_{i} \mid R_{j}\right\rangle=0 se \lambda_{i} \neq \lambda_{j}. Com esse resultado, é possível normalizar os estados e a relação de completeza fica como \sum_{i}\left|R_{i}\right\rangle\left\langle L_{i}\right|=\hat{1} e \hat{M}=\sum_{i}\left|R_{i}\right\rangle \lambda_{i}\left\langle L_{i}\right|.
(b) Para qualquer matriz M, pode-se encontrar duas matrizes unitárias U e V tais que V M U^{\dagger} é diagonal, com números reais não negativos ao longo da diagonal. Essa transformação é chamada de biunitária. Dica: Comece utilizando o teorema espectral, logo V M M^{\dagger} V^{\dagger}=D, onde D é diagonal.
(c) Verifique que podemos definir \hat{U}=\sum_{i}\left|R_{i}\right\rangle\left\langle e_{i}\right| e \hat{V}=\sum_{i}\left|L_{i}\right\rangle\left\langle e_{i}\right| para fazer a transformação biunitária.
(d) Usando o resultado do item b) mostre que qualquer matriz pode ser escrito pelo produto de uma matriz unitária por uma Hermitiana.

Passo 1

O enunciado trata de operadores não–normais \hat M cujos autovetores direitos \{\lvert R_i\rangle\} e esquerdos \{\langle L_i\rvert\} satisfazem
\hat M\lvert R_i\rangle=\lambda_i\lvert R_i\rangle, \quad \langle L_i\rvert\hat M=\lambda_i\langle L_i\rvert.
Pede-se em (a) mostrar a biortogonalidade e a expansão espectral em termos de \lvert R_i\rangle\langle L_i\rvert; em (b) provar a existência da decomposição biunitária (SVD); em (c) construir explicitamente as unitaries que diagonalizam \hat M; e em (d) derivar a decomposição polar de \hat M. Vamos usar propriedades de autovetores, teorema espectral para matrizes Hermitianas e operações com unitaries.

Passo 2

Para (a), calculamos o mesmo elemento de matriz de duas maneiras:
\langle L_i\rvert\hat M\lvert R_j\rangle =\lambda_j\langle L_i\mid R_j\rangle \quad\text{e}\quad \langle L_i\rvert\hat M\lvert R_j\rangle =\lambda_i\langle L_i\mid R_j\rangle.
Igualando, obtemos
(\lambda_j-\lambda_i)\langle L_i\mid R_j\rangle=0.
Logo, se \lambda_i\neq\lambda_j segue \langle L_i\mid R_j\rangle=0. Normalizando cada par de vetores pelos fatores apropriados para ter \langle L_i\mid R_i\rangle=1, obtemos a relação de completude
\sum_i\lvert R_i\rangle\langle L_i\rvert=\hat1
e a expansão espectral
\hat M=\sum_i\lvert R_i\rangle\,\lambda_i\,\langle L_i\rvert.

Passo 3

Para (b), considere a matriz A=M\,M^\dagger. Como A é Hermitiana positiva, o teorema espectral garante existência de unidade V tal que
V\,A\,V^\dagger=D,
onde D=\mathrm{diag}(d_i) tem d_i\ge0. Defina \Sigma=\sqrt D. A seguir, ponha
U=\Sigma^{-1}\,V\,M.
Verifica-se facilmente que U é unitária e que
V\,M\,U^\dagger=\Sigma,
que é diagonal com entradas reais não-negativas. Essa é a decomposição biunitária (SVD) de M:
M=V^\dagger\,\Sigma\,U.

Passo 4

No item (c), tomando \{\lvert e_i\rangle\} como base canônica, definimos os operadores
\hat U=\sum_i\lvert R_i\rangle\langle e_i\rvert, \qquad \hat V=\sum_i\lvert L_i\rangle\langle e_i\rvert,
onde \lvert R_i\rangle e \lvert L_i\rangle são, aqui, os vetores singulares de M (autovetores de M^\dagger M e M M^\dagger). Pelas ortonormalidades \langle e_i\mid e_j\rangle=\delta_{ij} e \langle L_i\mid R_j\rangle=0 para i\neq j, conclui-se que \hat U e \hat V são unitárias e que
\hat V\,M\,\hat U^\dagger =\sum_i\sigma_i\,\lvert e_i\rangle\langle e_i\rvert \equiv\Sigma,
com \sigma_i\ge0.

Passo 5

Para (d), da SVD M=V^\dagger\,\Sigma\,U definimos
Q=V^\dagger U, \qquad H=U^\dagger\Sigma\,U.
Então Q é unitária e
H^\dagger =(U^\dagger\Sigma\,U)^\dagger =U^\dagger\Sigma^\dagger U =U^\dagger\Sigma\,U=H,
logo H é Hermitiana positiva. Assim obtemos a decomposição polar
M=Q\,H,
isto é, o produto de uma unitária Q por uma Hermitiana H.

Resposta

(a) \langle L_i\mid R_j\rangle=0 para \lambda_i\neq\lambda_j;
\displaystyle\sum_i\lvert R_i\rangle\langle L_i\rvert=\hat1;
\displaystyle\hat M=\sum_i\lvert R_i\rangle\lambda_i\langle L_i\rvert.
(b) Existem unitaries U,V tais que
\displaystyle V\,M\,U^\dagger=\Sigma=\mathrm{diag}(\sigma_i), \sigma_i\ge0.
(c) \displaystyle\hat U=\sum_i\lvert R_i\rangle\langle e_i\rvert,
\displaystyle\hat V=\sum_i\lvert L_i\rangle\langle e_i\rvert diagonalizam M.
(d) A decomposição polar é
\displaystyle M=Q\,H, com Q=V^\dagger U unitária e
H=U^\dagger\Sigma\,U Hermitiana positiva.

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