Com relação aos operadores normais, responda as seguintes questões:
(a) Mostre que qualquer operador linear
pode ser escrito como
, onde
e
são Hermitianos. (Dica: Dê uma expressão para
e
em termos de
para mostrar) Obs:
é anti-Hermitiano.
(b) Pelo teorema espectral, todo operador Hermitiano pode ser diagonalizado, utilizando dessa argumento é possível concluir que
é sempre diagonalizável?
(c) Um operador é dito normal se
. Mostre que um operador normal satisfaz
, ou seja,
.
(d) Justifique por que um operador normal é sempre diagonalizável. Mostre também que os operadores unitários e Hermitianos pertencem ao conjunto dos operadores normais.
(e) Mostre que para um operador normal
se
então
, ou seja,
. (Dica: use o item c) e que os autovalores de uma matriz são os mesmos que de uma matriz transposta).
(f) Para um operador normal, mostre que os autovetores correspondentes a dois autovalores distintos são ortogonais.
(g) Uma operador pode ser diagonalizado por uma transformação unitária, se e somente se, ele for normal. Dica: Comece pela hipótese, se
pode ser diagonalizado por uma transf. unitária, então
onde o operador
é diagonal.
, onde
e
são diagonais com entradas reais, a partir disso, defina
e
de modo
e mostre que eles comutam.
(a) Mostre que qualquer operador linear
(b) Pelo teorema espectral, todo operador Hermitiano pode ser diagonalizado, utilizando dessa argumento é possível concluir que
(c) Um operador é dito normal se
(d) Justifique por que um operador normal é sempre diagonalizável. Mostre também que os operadores unitários e Hermitianos pertencem ao conjunto dos operadores normais.
(e) Mostre que para um operador normal
(f) Para um operador normal, mostre que os autovetores correspondentes a dois autovalores distintos são ortogonais.
(g) Uma operador pode ser diagonalizado por uma transformação unitária, se e somente se, ele for normal. Dica: Comece pela hipótese, se
Passo 1
O enunciado trata de operadores lineares em espaços de Hilbert, hermiticidade, operadores normais e a diagonalização unitária (teorema espectral). Vamos usar as definições:
– Um operador é Hermitiano se
.
– Um operador é anti-Hermitiano se
.
– Um operador é normal se
.
Precisaremos também do teorema espectral, que afirma que todo operador Hermitiano é diagonalizável por transformação unitária.
– Um operador
– Um operador
– Um operador
Precisaremos também do teorema espectral, que afirma que todo operador Hermitiano é diagonalizável por transformação unitária.
Passo 2
Parte (a): decompor
em partes Hermitiana e anti-Hermitiana. Definimos
Então
mostrando que
são Hermitianos. Além disso
é anti-Hermitiano, e portanto
Passo 3
Parte (b): pelo teorema espectral,
e
são cada um diagonalizável por alguma transformação unitária. Contudo, duas matrizes diagonalizáveis não se diagonalizam simultaneamente a menos que comutem. Logo, em geral
não é diagonalizável a menos que
.
Passo 4
Parte (c): escrevemos
Subtraindo, obtém-se
de modo que
se e somente se
.
Passo 5
Parte (d): se
, então
e
podem ser diagonalizadas simultaneamente por uma mesma transformação unitária
. Nesse mesmo basis,
fica diagonal, logo
é diagonalizável. Além disso:
– Qualquer operador Hermitiano satisfaz
, logo é normal.
– Qualquer operador unitário satisfaz
, portanto
, logo
e
é normal.
– Qualquer operador Hermitiano
– Qualquer operador unitário
Passo 6
Parte (e): seja
normal e
. Como
, os dois operadores compartilham auto-vetores. Então
Para achar
, usamos
,
ou seja , o que implica
. Consequentemente,
e, tomando adjunta, .
,
ou seja
e, tomando adjunta, .
Passo 7
Parte (f): sejam
e
com
. Então
leva a
leva a
Mas de (e)
, logo
.
Como e
, segue
.
.
Como
Passo 8
Parte (g): “
é diagonalizável por transformação unitária se e somente se é normal.”
(⇒) Suponha unitário tal que
, com
diagonal. Escrevemos
, onde
são diagonais com entradas reais. Definimos
(⇒) Suponha
Então
são Hermitianos,
e, como
comutam, segue
. Logo
é normal.
(⇐) Já mostramos em (d–f) que um operador normal admite base ortonormal de auto-vetores, i.e. é diagonalizável por transformação unitária.
(⇐) Já mostramos em (d–f) que um operador normal admite base ortonormal de auto-vetores, i.e. é diagonalizável por transformação unitária.
Resposta
(a)
,
, de modo que
.
(b) Nem todo é diagonalizável: é preciso ainda
.
(c) Um operador é normal se e somente se .
(d) Operadores normais são sempre diagonalizáveis. Operadores Hermitianos e unitários são casos particulares de operadores normais.
(e) Se e é normal, então
e
.
(f) Autovetores de associados a autovalores distintos são ortogonais.
(g) é diagonalizável por transformação unitária
é normal.
(b) Nem todo
(c) Um operador é normal se e somente se
(d) Operadores normais são sempre diagonalizáveis. Operadores Hermitianos e unitários são casos particulares de operadores normais.
(e) Se e
(f) Autovetores de
(g)