Para um operador normal se
então
. Em um caso mais geral, os operadores ditos não-normais,
e
, onde
e
são os autovetores esquerdos e direitos. Com base nisso, responda as seguintes questões:
(a) Para qualquer matriz quadrada, mostre que
se
. Com esse resultado, é possível normalizar os estados e a relação de completeza fica como
e
.
(b) Para qualquer matriz
, pode-se encontrar duas matrizes unitárias
e
tais que
é diagonal, com números reais não negativos ao longo da diagonal. Essa transformação é chamada de biunitária. Dica: Comece utilizando o teorema espectral, logo
, onde
é diagonal.
(c) Verifique que podemos definir
e
para fazer a transformação biunitária.
(d) Usando o resultado do item b) mostre que qualquer matriz pode ser escrito pelo produto de uma matriz unitária por uma Hermitiana.
(a) Para qualquer matriz quadrada, mostre que
(b) Para qualquer matriz
(c) Verifique que podemos definir
(d) Usando o resultado do item b) mostre que qualquer matriz pode ser escrito pelo produto de uma matriz unitária por uma Hermitiana.
Passo 1
O enunciado trata de operadores não–normais
cujos autovetores direitos
e esquerdos
satisfazem
Pede-se em (a) mostrar a biortogonalidade e a expansão espectral em termos de
; em (b) provar a existência da decomposição biunitária (SVD); em (c) construir explicitamente as unitaries que diagonalizam
; e em (d) derivar a decomposição polar de
. Vamos usar propriedades de autovetores, teorema espectral para matrizes Hermitianas e operações com unitaries.
Passo 2
Para (a), calculamos o mesmo elemento de matriz de duas maneiras:
Igualando, obtemos
Logo, se
segue
. Normalizando cada par de vetores pelos fatores apropriados para ter
, obtemos a relação de completude
e a expansão espectral
Passo 3
Para (b), considere a matriz
. Como
é Hermitiana positiva, o teorema espectral garante existência de unidade
tal que
onde
tem
. Defina
. A seguir, ponha
Verifica-se facilmente que
é unitária e que
que é diagonal com entradas reais não-negativas. Essa é a decomposição biunitária (SVD) de
:
Passo 4
No item (c), tomando
como base canônica, definimos os operadores
onde
e
são, aqui, os vetores singulares de
(autovetores de
e
). Pelas ortonormalidades
e
para
, conclui-se que
e
são unitárias e que
com
.
Passo 5
Para (d), da SVD
definimos
Então
é unitária e
logo
é Hermitiana positiva. Assim obtemos a decomposição polar
isto é, o produto de uma unitária
por uma Hermitiana
.
Resposta
(a)
para
;
;
.
(b) Existem unitaries
tais que
,
.
(c)
,
diagonalizam
.
(d) A decomposição polar é
, com
unitária e
Hermitiana positiva.