Com relação ao ponto (4,4,2) e a superfície esférica (x-2)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=8 é verdade que:
Escolha uma opção:
◯ a. O ponto está no interior da superficie esférica.
◯ b. O ponto pertence à superficie esférica.
◯ c. Não há informações suficientes para se determinar a posição do ponto em relação à superficie esférica.
◯ d. O ponto não pertence à superficie esférica, mas é impossivel saber se está dentro ou fora dela.
◯ e. O ponto está no exterior da superficie esférica.

Passo 1

O enunciado dá um ponto e uma superfície esférica e pede que se determine a posição do ponto em relação à superfície. Informações fornecidas:
  • Ponto: (4,4,2).
  • Equação da superfície esférica: (x-2)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=8.
A pergunta implícita é: o ponto (4,4,2) está no interior, pertence à superfície, ou está no exterior da esfera? As alternativas possíveis são as opções (a) a (e) do enunciado.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática passo a passo):
  • A equação (x-2)^{2}+(y-2)^{2}+(z-2)^{2}=8 representa uma esfera com centro em C=(2,2,2) e raio r tal que r^{2}=8. Isto vem do fato geral: a esfera de centro (x_{0},y_{0},z_{0}) e raio r tem equação (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.
  • Para decidir a posição de um ponto P=(x_P,y_P,z_P) em relação à esfera, calcula-se a distância ao centro d=\text{dist}(P,C). Em prática de prova é conveniente usar a distância ao quadrado, porque evita raíz quadrada: comparar d^{2} com r^{2}.
    • Se d^{2}<r^{2} então P está no interior.
    • Se d^{2}=r^{2} então P pertence à superfície.
    • Se d^{2}>r^{2} então P está no exterior.
  • Fórmula da distância ao quadrado em 3D:
d^{2}=(x_P-x_{0})^{2}+(y_P-y_{0})^{2}+(z_P-z_{0})^{2}.
Aqui x_{0},y_{0},z_{0} são as coordenadas do centro e x_P,y_P,z_P as do ponto.

Passo 3

Identificar o centro e o raio a partir da equação da esfera:
  • Centro C=(2,2,2) (peguei isto da equação da esfera).
  • Raio ao quadrado r^{2}=8 (extraído diretamente do lado direito da equação).

Passo 4

Calcular a distância ao quadrado de P=(4,4,2) até o centro C=(2,2,2):
  • Diferenças coordenada a coordenada:
x_P-x_{0}=4-2=2,\qquad y_P-y_{0}=4-2=2,\qquad z_P-z_{0}=2-2=0.
  • Portanto a distância ao quadrado é
d^{2}=(2)^{2}+(2)^{2}+(0)^{2}=4+4+0=8.

Passo 5

Comparação e conclusão:
  • Encontrou-se d^{2}=8 e sabemos que r^{2}=8.
  • Como d^{2}=r^{2}, pelo teste explicado no Passo 2, o ponto P=(4,4,2) pertence exatamente à superfície esférica (está sobre a esfera).

Resposta

(b)

Exercícios relacionados