Com relação ao ponto
e a superfície esférica
é verdade que:
Escolha uma opção:
◯ a. O ponto está no interior da superficie esférica.
◯ b. O ponto pertence à superficie esférica.
◯ c. Não há informações suficientes para se determinar a posição do ponto em relação à superficie esférica.
◯ d. O ponto não pertence à superficie esférica, mas é impossivel saber se está dentro ou fora dela.
◯ e. O ponto está no exterior da superficie esférica.
◯ a. O ponto está no interior da superficie esférica.
◯ b. O ponto pertence à superficie esférica.
◯ c. Não há informações suficientes para se determinar a posição do ponto em relação à superficie esférica.
◯ d. O ponto não pertence à superficie esférica, mas é impossivel saber se está dentro ou fora dela.
◯ e. O ponto está no exterior da superficie esférica.
Passo 1
O enunciado dá um ponto e uma superfície esférica e pede que se determine a posição do ponto em relação à superfície. Informações fornecidas:
- Ponto:
. - Equação da superfície esférica:
.
A pergunta implícita é: o ponto
está no interior, pertence à superfície, ou está no exterior da esfera? As alternativas possíveis são as opções (a) a (e) do enunciado.
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática passo a passo):
- A equação
representa uma esfera com centro em e raio tal que . Isto vem do fato geral: a esfera de centro e raio tem equação . - Para decidir a posição de um ponto
em relação à esfera, calcula-se a distância ao centro . Em prática de prova é conveniente usar a distância ao quadrado, porque evita raíz quadrada: comparar com . - Se
então está no interior. - Se
então pertence à superfície. - Se
então está no exterior.
- Se
- Fórmula da distância ao quadrado em 3D:
Aqui
são as coordenadas do centro e
as do ponto.
Passo 3
Identificar o centro e o raio a partir da equação da esfera:
- Centro
(peguei isto da equação da esfera). - Raio ao quadrado
(extraído diretamente do lado direito da equação).
Passo 4
Calcular a distância ao quadrado de
até o centro
:
- Diferenças coordenada a coordenada:
- Portanto a distância ao quadrado é
Passo 5
Comparação e conclusão:
- Encontrou-se
e sabemos que . - Como
, pelo teste explicado no Passo 2, o ponto pertence exatamente à superfície esférica (está sobre a esfera).
Resposta
(b)