Dados vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} tais que (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}=-2. Podemos afirmar:
Escolha uma opção:
◯ a. \quad((2 \vec{u}-\vec{v}) \times(\vec{v}+4 \vec{w})) \cdot \vec{v}=16
◯ b. ((2 \vec{u}-\vec{v}) \times(\vec{v}+4 \vec{w})) \cdot \vec{v}=-16
◯ c. \quad((2 \vec{u}-\vec{v}) \times(\vec{v}+4 \vec{w})) \cdot \vec{v}=-12
◯ d. \quad((2 \vec{u}-\vec{v}) \times(\vec{v}+4 \vec{w})) \cdot \vec{v}=8
◯ e. ((2 \vec{u}-\vec{v}) \times(\vec{v}+4 \vec{w})) \cdot \vec{v}=-8

Passo 1

O enunciado nos dá a informação
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=-2
e pede que calculemos o valor de
((2\vec{u}-\vec{v})\times(\vec{v}+4\vec{w}))\cdot\vec{v}.
Informações relevantes que temos:
  • O único número dado explicitamente é (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=-2.
  • O objetivo é avaliar um produto misto (produto escalar de um produto vetorial por um vetor) envolvendo combinações lineares de \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Passo 2

Vamos recordar propriedades fundamentais do produto misto (também chamado de triplo escalar) que usaremos:
  1. Linearidade (bilinearidade no primeiro e segundo fator do produto vetorial): para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} e escalares \alpha,\beta,
(\alpha\vec{a}+\beta\vec{b})\times(\vec{c})=\alpha(\vec{a}\times\vec{c})+\beta(\vec{b}\times\vec{c})
e similarmente no segundo fator. Em consequência, o produto misto é multilinear, por exemplo
(\alpha\vec{a}+\beta\vec{b})\times(\gamma\vec{c}+\delta\vec{d})=\alpha\gamma(\vec{a}\times\vec{c})+\alpha\delta(\vec{a}\times\vec{d})+\beta\gamma(\vec{b}\times\vec{c})+\beta\delta(\vec{b}\times\vec{d}).
  1. Alternância / repetição: (\vec{a}\times\vec{a})=\vec{0}, logo para qualquer \vec{x},
(\vec{a}\times\vec{a})\cdot\vec{x}=0.
Em particular, se um dos vetores no produto misto se repete, o resultado é zero, por exemplo (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0.
3) Permutação cíclica: o produto misto é invariante por permutações cíclicas:
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=(\vec{b}\times\vec{c})\cdot\vec{a}=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}.
Trocar a ordem não ciclicamente (isto é, fazer uma troca de dois vetores) inverte o sinal.
Eu explico com uma frase prática: isso significa que de um único dado do tipo (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} dá para obter outros produtos mistos com os mesmos vetores por permutação cíclica, e também podemos expandir soma e constantes por linearidade.

Passo 3

Aplicando linearidade para expandir (2\vec{u}-\vec{v})\times(\vec{v}+4\vec{w}), escrevemos passo a passo:
(2\vec{u}-\vec{v})\times(\vec{v}+4\vec{w}) =2\vec{u}\times\vec{v}+8\vec{u}\times\vec{w}-\vec{v}\times\vec{v}-4\vec{v}\times\vec{w}.
Agora fazemos o produto escalar com \vec{v}:
\bigl((2\vec{u}-\vec{v})\times(\vec{v}+4\vec{w})\bigr)\cdot\vec{v} =2(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}+8(\vec{u}\times\vec{w})\cdot\vec{v}-(\vec{v}\times\vec{v})\cdot\vec{v}-4(\vec{v}\times\vec{w})\cdot\vec{v}.

Passo 4

Usamos agora propriedades de repetição e permutação cíclica para simplificar cada termo:
  • (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0 porque \vec{v} aparece duas vezes no produto misto.
  • (\vec{v}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=0 por ser \vec{v}\times\vec{v}=\vec{0}.
  • (\vec{v}\times\vec{w})\cdot\vec{v}=0 novamente por repetição de \vec{v}.
    Portanto restará apenas o termo com (\vec{u}\times\vec{w})\cdot\vec{v}:
\bigl((2\vec{u}-\vec{v})\times(\vec{v}+4\vec{w})\bigr)\cdot\vec{v} =8(\vec{u}\times\vec{w})\cdot\vec{v}.

Passo 5

Precisamos agora relacionar (\vec{u}\times\vec{w})\cdot\vec{v} com o dado (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=-2. Usando permutação cíclica:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=(\vec{w}\times\vec{u})\cdot\vec{v}.
Portanto (\vec{w}\times\vec{u})\cdot\vec{v}=-2. Mas \vec{u}\times\vec{w}=-(\vec{w}\times\vec{u}), logo
(\vec{u}\times\vec{w})\cdot\vec{v}=-(\vec{w}\times\vec{u})\cdot\vec{v}=-(-2)=2.

Passo 6

Substituindo no resultado do passo anterior:
\bigl((2\vec{u}-\vec{v})\times(\vec{v}+4\vec{w})\bigr)\cdot\vec{v} =8\cdot 2=16.
Portanto o valor procurado é 16.

Resposta

a. 16

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