Dados vetores
e
tais que
. Podemos afirmar:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá a informação
e pede que calculemos o valor de
Informações relevantes que temos:
- O único número dado explicitamente é
. - O objetivo é avaliar um produto misto (produto escalar de um produto vetorial por um vetor) envolvendo combinações lineares de
.
Passo 2
Vamos recordar propriedades fundamentais do produto misto (também chamado de triplo escalar) que usaremos:
- Linearidade (bilinearidade no primeiro e segundo fator do produto vetorial): para quaisquer vetores
e escalares ,
e similarmente no segundo fator. Em consequência, o produto misto é multilinear, por exemplo
- Alternância / repetição:
, logo para qualquer ,
Em particular, se um dos vetores no produto misto se repete, o resultado é zero, por exemplo
.
3) Permutação cíclica: o produto misto é invariante por permutações cíclicas:
3) Permutação cíclica: o produto misto é invariante por permutações cíclicas:
Trocar a ordem não ciclicamente (isto é, fazer uma troca de dois vetores) inverte o sinal.
Eu explico com uma frase prática: isso significa que de um único dado do tipo
dá para obter outros produtos mistos com os mesmos vetores por permutação cíclica, e também podemos expandir soma e constantes por linearidade.
Passo 3
Aplicando linearidade para expandir
, escrevemos passo a passo:
Agora fazemos o produto escalar com
:
Passo 4
Usamos agora propriedades de repetição e permutação cíclica para simplificar cada termo:
-
porque aparece duas vezes no produto misto. -
por ser . -
novamente por repetição de .
Portanto restará apenas o termo com:
Passo 5
Precisamos agora relacionar
com o dado
. Usando permutação cíclica:
Portanto
. Mas
, logo
Passo 6
Substituindo no resultado do passo anterior:
Portanto o valor procurado é
.
Resposta
a.