Em relação a posição relativa temos:
Se \overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{1}}=0 então a reta e o plano são:

Passo 1

O enunciado dá a condição \overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{1}}=0 e pede para classificar a posição relativa entre a reta e o plano. Informações relevantes fornecidas:
\overrightarrow{v_{1}} é o vetor diretor da reta.
\overrightarrow{n_{1}} é o vetor normal do plano.
A igualdade \overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{1}}=0 é a única informação numérica/algébrica dada.

Passo 2

Vamos relembrar o que significam cada peça:
A reta pode ser descrita por um ponto \mathbf{r_{0}} e um vetor diretor \overrightarrow{v_{1}}, escrevendo-se uma forma paramétrica
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r_{0}}+t\,\overrightarrow{v_{1}}.
O plano pode ser descrito por um ponto \mathbf{p} no plano e um vetor normal \overrightarrow{n_{1}}, pela equação
\overrightarrow{n_{1}}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{p})=0
ou, de modo equivalente,
\overrightarrow{n_{1}}\cdot\mathbf{r}=d,
onde d=\overrightarrow{n_{1}}\cdot\mathbf{p}. Aqui, \overrightarrow{n_{1}} é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano.

Passo 3

Agora, lembre o conceito do produto escalar (dot product). Para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b},
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 e \mathbf{a} e \mathbf{b} são não-nulos, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ: os vetores são ortogonais.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso: \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}=0 implica que \overrightarrow{v_{1}} é ortogonal a \overrightarrow{n_{1}}. Mas \overrightarrow{n_{1}} é ortogonal a todo vetor pertencente ao plano. Logo, se \overrightarrow{v_{1}} é ortogonal a \overrightarrow{n_{1}}, então \overrightarrow{v_{1}} é paralelo ao plano (isto é, aponta numa direção contida no plano). Portanto a reta, cujo vetor diretor é \overrightarrow{v_{1}}, é paralela ao plano.

Passo 5

Explicando a nuance importante: dizer que a reta é “paralela ao plano” inclui dois casos:
  1. A reta está inteiramente dentro do plano (reta contida no plano).
  2. A reta é paralela ao plano mas não intersecta o plano (reta paralela distinta).
    Para distinguir esses casos precisamos verificar se algum ponto da reta satisfaz a equação do plano. Seja \mathbf{r_{0}} um ponto da reta e a equação do plano dada por \overrightarrow{n_{1}}\cdot\mathbf{r}=d. Substituímos \mathbf{r_{0}}:
  • Se \overrightarrow{n_{1}}\cdot\mathbf{r_{0}}=d, então \mathbf{r_{0}} está no plano e, como a direção da reta está no plano, toda a reta está no plano (reta contida).
  • Se \overrightarrow{n_{1}}\cdot\mathbf{r_{0}}\neq d, então a reta não intersecta o plano — ela é paralela e distinta.

Passo 6

Um exemplo concreto para fixar: tome \overrightarrow{v_{1}}=(1,2,0) e \overrightarrow{n_{1}}=(0,0,1). Então
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}=1\cdot0+2\cdot0+0\cdot1=0,
logo a reta tem direção paralela ao plano z= constante (plano horizontal). Se um ponto da reta tiver coordenada z=0 e o plano for z=0, a reta está contida; se o ponto tiver z=3 e o plano for z=0, a reta é paralela e distinta.

Resposta

A reta é paralela ao plano (e pode estar contida nele se algum ponto da reta satisfizer a equação do plano).

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